关于_AB_A___B_的几种简便证明方法.pdf

第21卷第2期2001年5月承德民族师专学报Journal of Chengde Teachers College for N ationalitiesVol.21 No.2M ay.2001收稿日期2000-10-17作者简介王俊青(1960-),女,山东省德州师专数学系副教授。关于“AB=AB”的几种简便证明方法王俊青1,任建娅2(1.山东德州高等专科学校,山东德州2530002.承德民族师专教务处,河北承德067000)摘要关于“矩阵积的行列式等于矩阵行列式之积”的证明,在教科书中一般采用Laplace定理给出行列式相乘规则,结合矩阵相乘的定义来进行证明,本文给出证明“AB=AB”的三种简便方法。关键词分块矩阵;初等变换;初等矩阵中图分类号O151.21文献标识码A文章编号1005-1554(2001)02-016-02定理设A与B都是数域F上的n级方阵,则AB=AB。证明方法1构造分块矩阵AO-IB(1)这个矩阵的行列式等于AB。为了与AB联系我们把分块矩阵(1)的第二块行的A倍加到第一块行上,而这相当于在分块矩阵(1)的左边乘上一个相应的分块初等矩阵,即IAOIAO-IB=OAB-IB(2)右边矩阵的行列式为OAB-IB=AB(21)(1+2+n)+(1+n)+2n 2I=AB(-1)n2(-1)nI=AB下面计算(2)式左边的行列式,分析IAOI=100a11a12a1n010a21a22a2n001an1an2ann00010000I经一系列消法初等行变换经一系列消法初等行变换10000001000000100000I=I于是PtPt-1P2P1I=IAOI,其中Pi(i=1,2,t)为消法初等矩阵。因此,(2)式左边的行列式为:PtP2P1IAO-IB=Ptp2p1AO-IB=AO-IB=AB方法2设A=(aij),B的各行依次为B1,B2,Bn于是AB=a11B1+a12B2+a1nBna21B1+a22B2+a2nBnan1B1+an2B2+annBn由行列式的性质,上式右边矩阵的行列式可以写成nn个行列式之和,易见AB=j1j2jna1j1Bj1a2j2Bj2anjnBjn其中j1j2jn为1,2,n的全排列,则AB=j1j2jnaij1a2j2anjnBj1Bj2Bjn61王俊青任建娅?著关于“AB=AB”的几种简便证明方法=(j1j2jn(-1)j(j1j2jn)a1j1a2j2anjn)B1B2Bn=AB方法3利用初等矩阵理论与初等变换引理若AM n(F),A0则A可仅经若干次行的消法变换(或仅经一系列列的消法变换)化为111Ann证明设A=(aij),因为A0,所以aij(i=1,2,n)不全为零,不妨设an10,则A第n行乘以1-a11an1加到第一行1a12a1na21a22a2nan1an2ann经一系列消法初等行变换1a12a1n0a22a2n0an2ann由此知,a22a2nan2ann=A0依 次 下 去,A化 为1a12a13a1n01a23a2n00a33a3n00an3ann133301330013000A111A下证对于任意ABM n(F),AB=AB若A与B中有一个为零,显然由:rank(AB)m in(rank(A),rank(B)n知AB=0=AB若A0,B0,由引理可知存在消法初等矩阵p1,P2,Ps;Q1,Q2,QtM n(F),使得P1P2PsA=111A,BQ1Q2Qt=111B从而AB=P-1sP-12P-11111A111BQ-1tQ-12Q-11=P-1sP-12P-11111ABQ-1kQ-12Q-11=111AB=AB71