《信号与系统》考点重点与典型题精讲（第4讲拉普拉斯变换、连续时间系统s域变换）（第2部分）.pdf

第4 拉普拉斯变换、连续时间系统s域变换信号与系统 考点重点与典型题精讲系列信号与系统 考点重点与典型题精讲系列主讲人：马圆圆主讲人：马圆圆网学天地网学天地www.e-网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲4.2 典型题精讲1求图所示信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)。（西安电子科大考研真题)解：引入辅助信号f0(t)，如图所示。则有：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲因为：所以：则根据拉普拉斯变换时域卷积性质得：根据拉普拉斯变换的积分性质有：又因为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲2判断下面的叙述是否正确：（1）一个信号存在拉普拉斯变换，就一定存在傅里叶变换。解：不正确。若拉普拉斯变换的收敛域不包含j轴，则其傅里叶变换就不存在。（2）一个信号存在傅里叶变换，就一定存在单边拉普拉斯变换。解：不正确。因为若信号为反因果信号，则其傅里叶变换和双边拉普拉斯变换均可能存在，但单边拉普拉斯变换为零，即不存在。（3）一个信号存在傅里叶变换，就一定存在双边拉普拉斯变换。解：正确。因为傅里叶变换是双边拉普拉斯变换的特例，傅里叶变换存在，说明收敛域包含j轴。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲3.填空题。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲上述两式哪个对？网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲解：（1）题图电路的s域电路模型如图所示。可得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲当激励2sin2t单独作用时，由于是正弦稳态响应，故：所以有：故根据叠加定理得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲5当系统的激励f(t)=(t)+(t-1)时，系统的零状态响应为y(t)=U(t)-U(t-1)。求系统的单位阶跃响应g(t)，并画出g(t)的波形。故系统函数为又因为，所以：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲经反变换得：y(t)与g(t)的的波形。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲6.如图所示系统，网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲由此：（2）因此：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲7已知系统函数解：根据已知的H(s)可写出系统的微分方程：对等号两端同时求单边拉普拉斯变换：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲故得零输入响应为：零状态响应为：全响应为：全响应中没有强迫响应分量，这是因为激励F(s)的极点(s+3)被系统H(s)的零点(s+3)“对消”了。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲8.求下列各像函数F(s)的原函数f(t)的初值f(0+)和终值f()。解：（1）（2）所以：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲9已知系统当激励fl(t)=(t)时，全响应为y1(t)=(t)+e-tU(t)；当激励f2(t)=U(t)时，全响应y2(t)=3e-t(t)。（1）求系统的单位冲激响应h(t)与零输入响应yx(t)；（2）求当激励为如图所示的f(t)时的全响应y(t)。解：（1）设系统函数为H(s)，s域零输入响应为Yx(s)。于是当f1(t)=(t)时有：当f2(t)=U(t)时有：即即所以：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲故得系统的单位冲激响应和零输入响应分别为：（2）因此：可得：得全响应：得零状态响应：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲10.系统的框图如图所示。（1）画出其对应的模拟图与信号流图；（2）求H(s)=Y(s)/F(s)。解：（1）模拟图如图所示。信流图如图所示。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（2）因此：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲11已知因果信号f(t)的拉氏变换，求下列信号的拉氏变换：由于f(t)为因果信号，则f(-1)=0，因此有：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲12求下列Xb(s)的拉氏逆变换：解：（1）根据收敛域判断逆变换信号为因果信号，则根据基本函数可知：（2）根据收敛域判断逆变换信号为反因果信号，则根据基本函数可知：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲解：（3）根据收敛域判断逆变换信号为因果信号，则根据基本函数：（4）根据收敛域判断逆变换信号为因果信号，则根据基本函数可知：可知：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲解：根据部分分式法，可得：根据收敛域判断逆变换信号为反因果信号，则根据基本函数以及时移性质可知：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲13已知函数f(t)的双边拉氏变换为，试求Fb(s)在不同的收敛域时的拉氏逆变换。解：令s(s-1)(s+2)=0，解得三个极点p1=-2，p2=0以及p3=1。由此三个极点将平面分为四个部分，即Res-2，-2Res0，0Res1，即收敛域有四种情况。经部分分式分解后得：（1）当Res-2时，所有信号对应反因果信号，则部分分式分解式应改写为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲对应的逆变换为：（2）当-2Res0时，极点p1=-2对应因果信号，其余极点对应反因果信号，则部分分式分解式应改写为：对应的逆变换为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（3）当0Res1时，所有信号对应因果信号，则对应的逆变换为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲14（哈尔滨工业大学2002年考研题）填空题。（1）函数的拉氏逆变换为_。解：（1）先求的逆变换为：则根据延时定理可知的逆变换为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（2）已知f(t)的单边拉氏变换为F(s)，则函数g(t)=te-4tf(2t)的单边拉氏变换为_。解：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（3）因果信号f(t)的拉氏变换为，则f(0+)=_；f()=_；f(t)在t=0的冲激强度为_。解：用长除法，可得：则可得：由于F(s)含常数项2，其逆变换正好对应2(t)，故f(t)在t=0的冲激强度为2。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲15.系统的微分方程为解：对微分方程进行拉普拉斯变换，可得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲零输入响应：因此：零状态响应：因此：可得全响应为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲16.已知某线性时不变系统，在起始状态全相同情况下，当激励为(t)时，其全响应r1(t)=(t)+e-tu(t)；当激励为u(t)时，其全响应r2(t)=e-tu(t)，求当激励为tu(t)-(t-1)u(t-1)-u(t-1)时的全响应r3(t)。解：（1）求单位冲激响应h(t)与零输入响应rzi(t)。由题意知：对上两式取拉氏变换得：解得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲因此：（2）求激励为e3(t)的全响应r3zs(t)=e3(t)*h(t)。根据卷积定理有：因此：故全响应为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲17已知图所示系统。（1）求系统函数H(s)=R(s)/E(s)；（2）求e(t)=e-2t+1u(t)时的响应r(t)。解：（1）直接列写W(s)，X(s)，R(s)间的关系：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲联立解得：另解：可用梅森公式求解。信号流图如图所示。因此：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（2）求零状态响应rzs(t)。故零状态响应为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲18.已知滤波器转移函数，试问此滤波器呈何种幅频特性（低通、高通、带通和全通）。解：先求的零极点。零极点如图所示。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲故滤波器为带通滤波器，其幅频特性如图所示。为极大值。另外，本题也可直接根据零极点分布情况，利用s平面分析法分析沿j轴移动时H(j)分子分母的幅值变化情况。由得系统幅频特性：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲19已知系统的零极点分布如图所示。（1）试判断该系统的稳定性；（2）若|H(j)|=0=10-4，则画出级联型的系统模拟图；（3）求该系统的阶跃响应；（4）定性画出该系统的幅频特性。解：（1）因为共轭极点位于s平面虚轴上，故系统临界稳定。幅频特性如图所示。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲所以：幅频特性如图所示。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲20某因果LTI系统的系统函数H(s)的零极点如图所示（包括原点处的二阶零点和一对共轭极点），且冲激响应初始值h(0+)=，求：系统函数H(s)及单位冲激响应h(t)。（哈尔滨工业大学2002年考研题）解：由零极点分布图可设传递函数为：根据初值定理，得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲因为网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲21.已知由子系统互联而成的系统如图所示，其中：h1(t)=(t)，h2(t)由微分方程y1(t)+y1(t)=x1(t)确定，试用拉氏变换求：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲因此有：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲22求下列函数的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。解：（1）利用线性性质，得：（2）利用线性性质，得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲23.求象函数的原函数的初值f(0+)和终值f()。解：因为象函数F(s)为真分式，则其原函数f(t)中不含(t)及其各阶导数，由初值定理，可得：由于F(s)的极点s=-1位于左半平面，故终值存在。由终值定理，得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲24.用拉普拉斯变换法解微分方程解：对微分方程两边取拉普拉斯变换，利用微分特性，得：解得：代入式，得：取逆变换，得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲代入式，可得：式中：因此：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲取逆变换，可得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲25.已知某LTI系统的阶跃响应g(t)=(1-e-2t)(t)，欲使系统的零状态响应求系统的输入信号f(t)。解：由于系统的阶跃响应g(t)=(1-e-2t)(t)，故：再根据关系H(s)=Yzs(s)/F(s)，得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲取逆变换，得系统的输入为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲26如图所示的复合系统是由2个子系统组成，子系统的系统函数或冲激响应如下，求复合系统的冲激响应。设加法器输出为X(s)，在加法器输出端可列出：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲则系统输出的象函数为：可解得系统的系统函数为：取逆变换，得复合系统的冲激响应为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲（2）由h2(t)=(t-T)可得子系统的系统函数：取逆变换，得复合系统的冲激响应为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲27.如图所示系统，已知当f(t)=(t)时，系统的零状态响应，求系数a、b、c。解：设题图中左边加法器的输出为X(s)，则左边积分器的输出为s-1X(s)，右边积分器的输出为s-2X(s)。在左边加法器的输出端可列出方程，解得：解得：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲在右边加法器输出端可列出方程：由以上两式中消去中间变量X(s)，可得系统函数：再由已知条件，得：则系统函数为：比较式和式对应系数，可得：a=-5，b=-6，c=6网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲28某LTI因果系统，已知当输入f(t)如图所示时，其零状态响应求该系统的单位阶跃响应g(t)，并画其波形。解：写出f(t)的表达式为：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲故得系统函数为：阶跃响应的象函数为：取逆变换得系统的阶跃响应：网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲单位阶跃响应g(t)的波形如图所示。网学天地（网学天地（www.e-）信号与系统 考点重点与典型题精讲）信号与系统 考点重点与典型题精讲谢谢！