西安建筑科技大学《运筹学》习题集(1).pdf

考试点考试点 西安建筑科技大学运筹学习题集西安建筑科技大学运筹学习题集第一章 线性规划1、写出下列问题的模型、写出下列问题的模型（1）一家玩具公司制造三种桌上高尔夫玩具，每一种要求不同的制造技术。高级的一种需要 17 小时加工装配劳动力，8 小时检验，每台利润 300 元。中级的需要 10 小时劳动力，4 小时检验，利润 200 元。低级的需要 2 小时劳动力，2 小时检验，利润 100 元。可供利用的加工劳动力为 1000 小时，检验 500 小时。其次，有市场预测表明，对高级的需求量不超过 50 台，中级的不超过 80 台，低级的不超过 150 台。制造商决定采用一个能使总利润为最大的最优生产计划。（2）某建筑材料预制厂生产1A、2A两种产品，现有两种原料，第一种有 72 立方米，第二种有 56 平方米，假设生产每种产品都需要两种原材料。生产每件产品所需原料如表1-1 所示。每生产一件1A可获得利润 60 元，生产一件2A可获得利润 1000 元，预制厂在现有原料的条件下，1A、2A各应生产多少，才能使获得利润最大。表表 1-1原料（单位：立方米）产品第一种第二种1A0.180.092A0.070.68（3）用长度为 500 厘米的条材，截成长度分别为 98 厘米和 78 厘米的两种毛坯，要求共截出长 98 厘米的毛坯 10000 根，78 厘米的 20000 根，问怎样截取，才能使用料最少？（4）某商店制定某商品 7-12 月的进货收货计划，已知商店仓库容量不得超过 500 件，六月底已存货 200 件，以后每月初进货一次，假设各月份某商品买进、售出单位如下表 1-2所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多?表表 1-2月789101112买进（元）282425272323售出（元）292426282225（5）某厂生产A、B、C三种产品。每单位产品A需要 1 小时技术准备（指设针、试验等）、10 小时直接劳动和 3 公斤材料。每单位产品B需要 2 小时技术准备、4 小时劳动和 2 千克材料。每单位产品C需要 1 小时技术准备、5 小时劳动和 1 千克材料。可利用的技术准备时间为 100 小时，劳动时间为 700 小时，材料为 400 千克。考试点考试点 公司对大量购买提供较大的折扣，利润数字如下表 1-3 所示。试列出使利润最大的数模。表表 1-3产品A产品B产品C销售量（件）单位利润（元）销售量（件）单位利润（元）销售量（件）单位利润（元）04010050601005401009501004100 以上41001508100 以上3150 以上（6）某一市政建设工程项目在随后的四年中需分别拨款 200 万元、400 万元、800 万和500 万元，要求拨款在该年年初提供，市政府拟以卖长期公债的方法筹款。长期公债在筹款的四年中市场利息分别预计为 9%，8%，8.5%和 9.5%，并约定公债利息在工程完工后即开始付息，连续付 20 年之后还本。在工程建设的头三年，卖公债的多余部分投入银行作为当年有期储蓄，以便用于随后的几年（显然第四年无有期储蓄），银行的有期储蓄利息率分别预计为 8%，7.5%和 6.5%。现在的问题是求政府最优的卖公债和尤有期储蓄方案，使该项市政建设工程得以完成，且付息最低。（7）某钢铁公司有三个铁矿，他们日产矿石分别为 5000，3000 和 1000 吨。该公司有四个炼钢厂，他们每天所需的矿石量分别为 4000，25000，1000 和 15000 吨。这三个铁矿与四个炼钢厂的距离间下表 1-4。问该公司应如何安排运输，既能满足各炼钢厂的需要，又能使吨公里数最小。表表 1-4炼钢厂距离（公里）1B2B3B4B矿山1A163041503A343032453A554024332、用图解法解下列线性规划问题、用图解法解下列线性规划问题（1）12min2zxx（2）12max2zxx 12xx212xx2122xx6122xx61x，2x01x，2x0（3）12max2zxx（4）12max36zxx12xx212xx2考试点考试点 1x，2x0122xx61x，2x0（5）12max36zxx12xx212xx51x，2x03、有两个变量的线性规划问题、有两个变量的线性规划问题1max zx12xxa12xx11x0，2x0（1）证明本题当且仅当a1 时为可行（2）应用图解法，对a1 的一切值，求线性规划以a表示的最优值。4、考虑标准线性规划问题、考虑标准线性规划问题max zCXAXbX0设 1x和 2x是上述问题的两个最优解。求证向量 121XXX是最优解，为 0 与 1 之间的任意值。5、用单纯形法求解以下问题、用单纯形法求解以下问题（1）12max3zx（2）1234min3zxxxx1x5123224xxx122xx101243xxx=62x4jx0，j=1，2，3，41x，2x0（3）1234max24zxxxx（4）123min28zxxx 1234222xxxx20123293xxx301234232xxxx201235xxx20jx0，j=1，2，3，4123462xxx15最优解是否唯一，为什么？jx0，j=1，2，3，4（5）用单纯形法证明下列问题无最优解：12max2zxx1232xxx2考试点考试点 123xxx11x，2x，3x0（6）应用大 M 法，证明下列线性规划为不可行：12min24zxx1223xx212xx31x，2x0（7）应用大 M 单纯法解：124min634zxxx1x302x503x20123120 xxx1x，2x，3x0（8）用二阶段单纯形法解：123min634zxxx1234xxxx301234362xxxx01x，2x，3x，4x06、选择填空、选择填空（1）若 LP 最优解不唯一，则在最优单纯表上（）。A、非基变量的检验数必有为零；B、非基变量的检验数不必有为零者。（2）极小化（min z）线性规划标准化为极大化问题后，原规划与标准型的最优解（），目标函数值（）。A、相差一个负号B、相同C、没有确定的关系（3）大 M 法和两阶段法是用来（）的，当用两阶段法求解 LP 问题时，第一阶段建立的辅助 LP 标准型的目标函数为（）。A、简化计算；B、处理人工变量；C、人工变量之和；D、ZcZ；E、进行灵敏度分析F、松弛变量、剩余变量和人工变量之和G、人工变量之和的相反数（4）线性规划问题的标准型最本质的特点是（）。A、目标要求是极小化；B、变量和右端常数要求非负；C、变量可以取任意值；D、约束条件一定是等式形式。考试点考试点 （5）求解线性规划模型时，引用人工变量是为了（）。A、使该模型存在可行解B、确定一个初始的基可行解C、使该模型标准化第二章 对偶线性规划1 1、写出下列规划的对偶规划、写出下列规划的对偶规划(1)123min363zxxx(2)12345max234zxxxxx 12361218xxx1234523xxxx6s t 1234xxx12353227xxxx1x，2x，3x012345342xxxxx51x，2x，4x0；3x，5x无限制2、考虑线性规划、考虑线性规划123max2zxxx123xxx21231xxx1232xxx21x0，3x0，2x无限制。（1）写出本规划的对偶规划。（2）应用对偶理论，证明原规划的最大值 Z 不能超过 1。3、用对偶单纯形法求解下列线性规划、用对偶单纯形法求解下列线性规划（1）123min438zxxx（2）1234max2356zxxxx 13xx2123423xxxx2s t 232xx5s t 123423xxxx31x，2x，3x0jx0，j=1，2，3，44、求规划、求规划123max5513zxxx 1233xxx20s t 12312410 xxx90jx0，j=1，2，3的最优解。并分别说明，下列变化对最优解有何影响。（1）约束条件 1）的右边常数由 20变到 30；（2）约束条件 2）的右边常数由 90变到 70；（3）目标函数中3x的系数由 13变为 8；s t s t 考试点考试点 （4）1x的系数列向量由112变为05 ；（5）增加约束条件（3）：123235xxx50。第三章 运输问题及其求解方法1、砂石从126,A AA产地运往1234,B B B B四个工地的交通路线图如图 1，求最优调运方案。图图 1 12、根据交通图 2 种的收量和发量，做出吨公里数最小的流向图（发量、收量单位：吨）图图 2 23、根据下列物资平衡表 1 及交通图 3，求出物资调运最优方案及最小吨公里数。表表 1 1收点发点1B2B3B4B5B6B7B8B发量（吨）1A45B4A65A3B4A2B1B3A2A1A782142163623131B4A2B1A4B5A3B5B2A22342533A3BCD考试点考试点 2A603A654A35收量（吨）5010151520253535图图 3 34、设有一个钢筋调运平衡表 2，其运输线路如下图 4 所示，试用图上作业法求最小吨公里数。表表 2 2图图 4 45、把钢筋从1A，2A，3A调运到1B，2B，3B，4B，5B平衡表和运价表如表 8 所示，问怎样调运才使运费最少？6、令 f x的系数矩阵为ijCcij，i=1，2，3；j=1，2，3，4，5。其约束条件为：表表 3收点发点1B2B3B4B5B发量（吨）1A10643752A165277收点发点1B2B3B发量1A202A40收量(吨）133017651184B3A1B2B3B1A4A2A7B6B5B154B20253560353545151050671181652527024675234496686302B1340131A3B1B2A2520153010152031ijixj5113jjx5212jjx53110jjxijx0考试点考试点 3A543988收量(吨)2254720依照上面的条件，求出其初始方案及最小费用。7、水泥厂调运的产销不平衡表及运价表如表 4 所示，求最小调运方案。不平衡表及运价不平衡表及运价表表 4收点发点1B2B3B4B发量（吨）1A2113472A1035953A78127收量（吨）23461915第四章 整数规划1、用分枝界定法虬下列整数规划、用分枝界定法虬下列整数规划（1）12max2zxx（2）12max zxx12xx512xx01262xx211x，2x0，整数1x，2x0，整数（3）123max45zxxx（4）12max4090zxx1232xx101297xx56124xx1112720 xx7012333xxx11x，2x0，整数1x，2x，3x0，整数2、用割平面法求下列整数规划、用割平面法求下列整数规划（1）12max32zxx（2）21max79zxx1223xx14123xx6s t 122xx9s t 127xx351x，2x0，整数1x，2x0，整数12123xx129511414xxs t s t s t s t 考试点考试点 （3）2max3zx（4）1232xx7s t 12xx21x，2x0，2x整数1x，2x，3x，4x01x，2x，3x整数3、解下列、解下列0 1规划规划（1）12345max2554zxxxxx1234532754xxxxx612345242xxxxx00jx 或 1，j 1，2，5（2）123max432zxxx123253xxx412343xxx3232xx11x，2x，3x且为 0 或 1（3）12345max76456zxxxxx 123453233xxxxx1134542xxxx412343xxx11x，2x，5x且为 0 或 1(4)123max34zxxx12332xxx412353xxx523xx213xx31x，2x，3x且为 0或 14、解下列指派问题、解下列指派问题12341711928824xxxx1231315.544xxx123419max108118zxxxxs t s t s t s t s t 考试点考试点 （1）五个电工组成一个维修组，规定每人负责厂区的 1/5，每个电工上班到工厂区的五个分区时间如表 4-20 所示，问怎样分派任务，才能使他们的上班需要的时间最少？表表 4-20abcdeA2124302029B2429273822C3225172629D3139382538E3135212927(2)有四个工人去完成四项任务，每人完成各项任务所消耗的时间如表 4-21 所示，问指派哪个人去完成哪项任务可使总消耗时间最少？表表 4-21任务工人ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317（3）某公司希望建造五个小型工厂，现在有六个地方的地皮可以购置，供建厂用，已知不同地点的建厂费用（单位：万元），由表 4-22 给出，问应当怎样选厂才能使费用最小？表表 4-22工厂地点abcdeA1815222521B91110158C1210141617D910102120E1418262624F1419232025电工上班用时间厂分区考试点考试点 第五章 动态规划1、用动态规划方法求下面交通图由 A 到 B 的最短时间。图图 1注：各点之间的连线旁边数字，表示时间。2、设有三种机器，使用也分三个时期。第一个时期使用三种机器的耗费分别为 6，8，9；第二个时期使用三种机器的耗费分别为 10，12，8；第三个时期使用三种机器的耗费分别为 2，5，6。但是机器的使用不是任意的，只能按图的顺序使用。问题是如何安排机器使总耗费最小？（化为网络最短路问题求解）图图 23、某工厂进行甲、乙、表表 1丙三种新产品的试制，估计这些新产品试制成功的概率分别为 0.6，0.4 和 0.3。由于工厂急于推出新产品，故厂方领导决定再拨 2 万元的研制费，以期提高新产品研制的概率。据有关专家估计，把增加的研制费用于各种新产品试制时，试制成功概率如表 1 所示。试把这批研制费分配给各新产品试制项目（不分配，分配给 1 万元或分配给 2 万元），以使这三种新产品均研制成功的概率最大。增加研制费（万元）新产品成功的概率甲乙丙00.600.400.3010.800.700.6020.850.900.70QLOBPNMIECADGKJF时期 1时期 2时期 3机器 1机器 2机器 3考试点考试点 4、用动态规划方法求表表 212max()910f xxx约束条件：1121232515,0 xxxx x5、某厂生产一种产品，该产品在未来四个月的销售量估计如表 2 所示。该项产品的生产准备费用为每批 5 百元，每件的生产费用 1 元，每件的存储费用每月为 1 元。假定 1 月初的存货为 1 百件。5 月初的存货为 0。试求该厂在四个月内的最优生产计划。6、现有一批资金，总额为 5 万元拟投资于改造三个工厂。先对三个工厂拟订了几个不同的技术改造方案，其所需资金和投产后新增收益如表 3 所示。各工厂改造所需资金和投产后新增收益各工厂改造所需资金和投产后新增收益表表 3投资（万元）各工厂改造投产后新增年收益值（万元）工厂 1工厂 2工厂 3000011.51.322.62.833.944.2问总投资额 5 万元应如何分配使用，才能使三个工厂改造后的新增收益最大？7、用动态规划方法求2123max()492f xxxx约束条件：12312310,0,xxxx x x且为整数8、写出下列问题的动态规划的基本方程。1max()niiiZx约束条件：1,(0)0,(1,2,.,)niiixb bxin月份销 售 量（百件）14253342考试点考试点 第六章 目标规划1、用图解法求解以下目标规划问题、用图解法求解以下目标规划问题1minZd1211121212118614042602448,0 xxddxxxxx x dd1112223min(),()Zp ddp ddd1211122212331210127521028,0,0,1,2,3iixxddxxddxxddx xddi2 2、用单纯形法求解目标规划、用单纯形法求解目标规划11222min,()Zp dp dd1211122212121223602200.50.25922,0,0,1,2iixxddxxddxxxxx xddi3 3、先列出下列各题的数模，然后求解、先列出下列各题的数模，然后求解 某家俱厂生产桌子椅子两种产品，售出桌子的单位利润 80 元，售出椅子单位利润40 元，该厂要求下周获利 640 元，两种产品各应销售多少？某车间计划生产 A、B 两种产品，它们分别要经过粗加工和精加工两道工序的加工，其所需工时定额如表 1在生产中不允许超过各工序的有效工时，车间决策者首先考虑两种产品的产量之和尽量超过 10kg；其次是产品 B 可略微超过 7kg，再次希望产品 A 不超过 8kg。表表 1 1产品工序A（h/kg）B（h/kg）有效工时(h)粗加工精加工63246060考试点考试点 4 4、写出下列目标规划模型对偶形式、写出下列目标规划模型对偶形式1132334124min53fPdPdPdPdPd121112231441280704510,0(1,2,3,4)iixxddxdxddddx x ddi5 5、在上题中，若增加约束条件、在上题中，若增加约束条件1211290 xxdd试进行灵敏度分析。第七章第七章 存储论存储论1、某工程队建筑一条工厂铁路专用线，假设平均每天需要 8 根钢筋混凝土忱轨，每根30 元。轨忱由预制厂运往工地需要动用预制厂的吊车，吊车是按台班收费，300 元一个台班，因此，工程队采用分批集中运输的办法向工地运输轨忱，但暂不使用的必须积压资金，如果资金的月利（息）率为 7.2%，试问在不允许缺货的情况下，一年修成专用线所需的轨忱分几批运输、每批需用吊车几个台班为最理想？2、某产品每月用量 40 件，建立费为 15 元，存储费为每月每件 8 元，试求经济批量和相应存储费。3、某建筑公司根据投标情况，予计在一年之内需用门窗平板玻璃 300 箱假设每箱价 200元，每箱每年的保管费为 20 元，采购费平均每次 120 元，问几次采购最好？若允许缺货时，设缺货损失费为每箱每月 2 元，试求合理采购次数。4、某公司准备进口一台新型计算机，其中有一种零件构造复杂，因此需要和主机一起购买一些这种零件以备后用、假设该种零件同主机一起购买时，单价为 2000 元，如果以后单独购买这种零件时，加上停机的损失费可达 16000 元，今有如下表 1 统计资料供参考，问需买几个零件作备用？表表 1 1购买备件数损坏第一列备件数的机器台数概率估计值1850.85180.08240.04320.02410.01考试点考试点 5 个以上00.005、某厂采购生产原料情况如下：采购数量（吨）单价（元）019991002000 以上80假设年需要量为 10000 吨，每次采购定货费用需 2000 元，原料存储费率为 20%，试求每次的采购量。又知该厂的原料需求如表 2。表表 2 2需要量R(吨)8090100110120概 率P（r）0.10.20.30.30.1在每吨价格为 850 元，存储费为每吨 45 元，缺货损失费为每吨 1250 元的情况下，试用Ss 存储法，求合适的 S、s 值。6、某图书报刊零售点的电视报很畅销，根据已知的经验，每百份电视报可获得利x元，如果销售不出去则赔y元。每周销售的概率为已知，试求每次的电视报购入量。若x=1.5元，y=3.5元，ppppppp(0)=0,(1)=0.10,(2)=0.10,(3)=0.25(4)=0.35,(5)=0.15,(6)=0.057、某工厂生产中，每年需要某种机器配件 5000 件，不允许缺货，每件价格为 20 元，每次订购费用 200 元，年度存费用为库存物资资金的 10%，试求：经济订购批量及最小平均总费用；如果每次订购费用为 10 元，每次订购多少为佳？最小平均总费用是多少？若上题中允许缺货，求订购批量最小平均费用及最大缺货量，没缺货费用为 3 元/（件.月）。第八章 对策论1、求下列矩阵对策（1）936567445A（2）176435027A（3）012201120A（4）310123271A考试点考试点 2、试求以下矩阵对策的最优策略和对策值（1）0114（2）3624（3）202031121（4）23521070383、用线性规划法求解下题（1）042214331（2）2262102822（3）10032123145364、从前齐王和他的大臣田忌约定，各处自己的上、中、下三马进行比赛，一马输者，付给对方 1 千金，赢者得 1 千金。已知田忌的上、中、下三马分别不如齐王的上、中、下三马跑的快，但田忌的中马比齐王的下马快，上马比齐王的中马好。试用矩阵对策求解齐王和田忌赛马的决策之最优策略。5、某市有两家超市相互竞争，超市 A 有三种广告策略，超市 B 也有三种广告策略，据预测当双方采用不同的广告策略时，A 方所占市场份额增加的百分数如表 1 所示：表表 1策略B123A1302202032-14试将此对策问题表示为一线性规划模型。A，B 两人分别为 1 角、5 分和 1 分的硬币各一枚。在双方互不知道的情况下，各出一枚硬币，并规定当和为奇数时，A 赢得所出硬币；当和为偶数时，B 赢得所出硬币。试列出两人零和对策的模型，并说明该游戏对双方是否公平合理。第九章 排队论1、某混凝土搅拌站只有一套搅拌设备，一直平均每小时有 4 辆浇灌车来装搅拌好的混凝土，并且每车混凝土平均需要 6 分钟搅好装上车。浇灌车的到达次数服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。试求：考试点考试点 （1）搅拌站空闲时间的概率；（2）站上有三辆车的概率；（3）站上至少有一辆车的概率；（4）在系统中的平均车辆；（5）在系统中的平均等待装车的车辆；（6）平均逗留时间；（7）车辆平均到达间隔时间；（8）平均等待时间。2、某建筑工地修理部只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时 5 人，修理时间服从负指数分布，平均需 8 分钟。试求修理部不空闲的概率，修理部至少有一个顾客的概率，修理部顾客的平均数，在修理部内平均逗留时间，必须在修理部内逗留 12 分钟以上的概率。3、某建筑公司自设卫生所。每小时到达该所看病的病人平均为 4 人，而所中仅一位医生，给病人诊断治病的速率平均为每小时 5 人。若到达过程为泊松过程。服务时间服从负指数分布。试计算平均在卫生所里等待看病及看病的人数，平均在卫生所里等待看病的人数，平均每位来看病的职工需消耗的时间，平均每位来看病的职工需消耗的等待看病时间，没有职工来看病的概率。4、设有两个售票亭，现考虑每分钟平均到达 6.4 人的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务 4 人。试求系统中无人的概率，系统中的平均人数，排队等候的平均人数，顾客等候的平均时间。5、某电信局准备在新建成的国际机场装设电话亭，而电信局的目标是每一个等候电话的概率不超过 0.10；使用电话的平均需求率为每小时 30 人，且为最简单流，使用电话的平均时间为 5 分钟，且为负指数分布。应该置多少个电话亭？6、设有两个修理工人，其责任是保证 5 台灵敏的机器能正常运行。每台机器平均损坏率为每小时一次，这两位工人能以相同的平均修复率 4 小时修理机器，求等待修理的机器平均数；机器在系统中的平均台逗留时间。7、设某电话间顾客按泊松流到达，平均每小时到达 6 人，每次通话时间平均为 8 分钟，方差为 16 分钟，通话时间服从爱尔朗分布。求平均等待长度；顾客的平均等待时间。8、某工程公司所属碎石场，其任务是将大石块轧碎加工成各种规格的碎石。碎石场的工艺过程是：在大石块堆积地（距轧石机水平距离 30 至 200 米），由小车装料用人工推至轧石机的料斗前，将块石装入料斗，开动卷扬机提升料斗，将料倾卸于斜面槽而置于料台，然后将料装入轧石机轧碎，并经过筛分机筛分，最后经带式运送机卸于料堆。由于各种原因，造成了料斗口小车排队，且有时轧石机空载而等料。现在的问题是：（1）如何配备小车数，使轧石机空载和小车排队损失之和达到最小。经研究，此系统的特点为 M/M/1 排队系统，可设1c为机械台班产值，2c为每一工人工作一班产值，为平均到达率，为服务率（显然，此系统的视为常数，只要求得最优的值*及*()L即可）。考试点考试点 （2）现有某碎石场，已知1c=1659 元/台班，2c=41 元/工班，=1.62，试求*，并根据*()L及机械空载率，判断是否需进一步改造该系统的劳动组合（若需改造可采用料斗旁设若干空车作为“暂时仓库”的方案）。9、某大型预制厂在考虑卸货台装卸材料时需对甲、乙、丙三个方案做出决策。设 F，ec，分别表示各方案中每天的固定费用，每天的可变费用，每小时的装卸率（吨）。三方案的有关费用资料如下：见表 9-4表表 1方案Fec甲6010010乙13015020丙25020060再设货车按泊松流到达，每天平均（按 10 小时计算）到达 15 车，每车平均装货 5 吨。卸车（货）时间服从负指数分布，每辆车停留在装卸站 1 小时的损失费为 10 元，问应采取何方案才能使所花费的总费用为最小？10、指出下列排队系统中的顾客和服务员：（1）自行车修理店；（2）按客户订单进行加工的加工车间；（3）机场起飞的客机；（4）十字路口红灯前的车辆。11、对 M/M/1/的排队系统，根据下列表达式分别解释其含义：（1）；（2）0P i；（3）qLL；（4）/qWW。12、判断正误（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的客户来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布；（3）对于 M/M/1 或 M/M/n 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；（4）在排队系统中，一般假定对客户服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假设比较合理；（5）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队规则的影响；考试点考试点 （6）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（7）在 M/M/1 中，用sn表示系统中逗留的认输，qn表示系统中等待的顾客数且sn=qn+1，则()(1)11sqqqLE nE nEnL；（8）M/M/1 中，1qLL，而 M/M/n 中也有2qLL，（其中1，2n）；（9）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态。