线性代数终极总结.pdf

1 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 一、行列式与矩阵 行列式的定义 ()1 21 212121 211121(.)21222()1212,12()1nnnnnnni iinnj jjnjjnjiii nj jjiinnnnaaaaaaDa aaa aaaaa=LLLLLMMML1(),nTAr AnAAAxxAxAxAA AAE=可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，总有唯一解 0是正定矩阵 R12,sinnAp pppnBABEABEAA=是初等阵存在 阶矩阵使得 或 的列（行）向量是的一组基是的某两组基的过渡矩阵RR 评 注 全体n维实向量构成的集合nR 叫做n维向量空间.()0Ar AnAAAAxA=不可逆 的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解,其基础解系即为 关于0的特征向量 评 注 ()0()0,r aEbAnaEbAaEbA xaAb+=+=有非零解 为 的特征值 具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m2 关于12,ne ee：称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量87p教材；12,ne ee线性无关；12,1ne ee=；tr=niiiEan=；1niiia=（即主对角元素之和）任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示.逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数叫做奇排列。为偶数叫做偶排列。奇排列变成偶排列对换次数为奇数。反之相同 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性（即()211=）设排列为111lmnaa abb bccLLL，作m次相邻对换后，变成111lmnaa abbb ccLLL，再作1m+次相邻对换后，变成111lmnaabbb accLLL，共经过21m+次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加 1，要么减少 1，相当于()211=，也就是排列必改变改变奇偶性，21m+次相邻对换后()()2121111m+=，故原命题成立。n阶行列式的 6 大性质 p教材9部分证明请看 性质 1：行列式与它的转置行列式相等 性质 2：互换任意行(列)式的两行列行列式变号。推论：如果有两行(列)相同，行列式为0 性质 3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用k 乘以行列式 推论：行列式的某一行(列)的所有元素的共因子可以提到行列式的外面。性质 4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。性质 5：任意行列式可按某行(列)分解为两个行列式之和。性质 6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后再加到另一行(列)上，行列式不变。将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD=；将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nDD=将D主副角线翻转后，所得行列式为3D，则3DD=p教材27 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为4D，则4DD=精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m3 行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理：拉普拉斯定理 1knCiiiDM A=111,0,1,j 0,jnijkjikikjnijikjkjkiikia ADikkja ADk=按第行展开其中：按第行展开其中：克莱姆法则 p教材53 n元非齐次线性方程组：11 1122111112121 12222221222121 122nnnnnnnnnnnnnnnna xa xa xbaaaa xa xa xbaaaDaaaa xa xa xb+=+=+=LLLLLLLLLL0D 方程组有唯一解：1212,nnDDDxxxDDD=L。其中(1,2,)jDjn=L是将D中的第 j 列元素换成常数12,nbbbL，其余元素不变而得到的行列式。如果12 0nbbb=L，对应方程组叫齐次线性方程组。证明：()()()()1211 1122111121 122222221 122,1,jjnjnnjjnnjjnnnnnnjnnjDjAAAna xa xa xAb Aa xa xa xAb Aa xa xa xAb A+=+=+=LLLLLLLLLLLLLLLL用 中第 列元素的代数余子式依次乘方程组的 个方程 得 再把n个方程依次相加，得111111,nnnnkkjkjkjjknkjnkkjkkkka Axa Axa Axb A=+=LL 由代数余子式的性质可知,(),0;.jijxDx ijD上式中 的系数等于而其余的系数均为 又等式右端为 于是()1,2,.jjDxDjn=L ()2 当0D 时,方程组()2 有唯一的一个解 312123,.nnDDDDxxxxDDDD=L 评 注 克莱姆法则的应用范围 只适用于方程的个数与未知数个数相等的情形；0D=，克莱姆法则失效，方程可能有解，也可能无解；齐次方程组总是有解，当0D=无穷多个解（有非零解）；0D 只有唯一的零解。精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m4 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若 AB与都是方阵（不必同阶）,则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO=1（拉普拉斯展开式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1)2112121121111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO=KNN1 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式：()()12222121111121 2nijnj i nnnnnxxxn nxxxxxxxx =LLLMMML111共有个因子p教材18,例12 七种常见的行列式计算问题：行和相等型行列式的计算方法 当行列式中每一行的元素之和相等（称为行和相等型）时，计算时把各列全部加到第一列，从第一列中提出公因式，然后，各行都减去第一行就可以降阶，爪形行列式的计算方法 爪形行列式nD 的计算一般方法是分三种情况分别讨论。假设主对角上的元素分别为12 na aaL。如12 na aaL中有两个或两个以上的元素为零，则必有两行成比例，故0nD=；如12 na aaL中只有一个元素为零，例如0ka=，则先按第k 行展开，再按1k 列展开，便得到一个主角行列式了；如12 na aaL中没有零元素，则从22a 开始逐一提出主对角元素，然后，上三角化，便得到一个上三角行列式了。精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m5 评 注 爪形行列式的通用公式：012112201100 00()000nnni ijiijinna b bbcacbcaaaaaca=LLLLLLLLL其中 三对角行列式的计算方法 先按第一列展开，可得通用递推公式 11112212 nnnDa Da a D=递推法常常要用到常系数二阶差分方程：常系数二阶差分方程的一般式：12 ,nnnDpDqDp q=+为常数()()()1 122122121212 0,nnnnccpqDcc n+=+=其中：系数12,cc 由12,DD 联立求得。范德蒙型行列式和升阶技巧 加边，加边的原则是不改变原有行列式的值，并使加边后的行列式能通过简单的加减行列变成爪形；加补，即加上需要补的一行和需要补的一列，使原有行列式符合范德蒙行列式，再通过代数余子式反求原行列式。自相似型行列式的计算方法 分为行和（或列和）相等型和不等型。对相等型，可用多行加和提出公因式，再用三角降阶求之；也可先按第一列展开，得到递推公式。对不等型，先需要分别从末到第二行和第二列逐一对换，使之成为两类特殊的拉普拉斯型而求之。抽象型 行列式的计算方法 参数型 行列式的计算方法 对特征参数型先看看是否具有行和相等的特点（其实大多数具备这个特点），如果没有则要找使行列式为零的试探解()00 =1 2 一般以，试探原行列式是否为零。，依之为出发点利用行列式性质凑出公因式()0。精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m6 矩阵的定义 由m n个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa=LLMMML称为m n矩阵.记作：()ijm nAa=或m nA 矩阵的乘法()()();()ijm sijijs nAaBbCcCABAB=的列数必须等于 的行数 ()()()12121 1211111 sijiiisjjsjijiijissjikkjkmnnmnnijikkjikkjm nijkijkca aabbba ba ba ba bCABca bABa b=+=LLL 评 注：矩阵乘法虽然不满足交换律，但仍满足结合律和分配律 矩阵乘法的几何意义：投影：1010,00000 xxxAopyy=uu r，相当于把向量opuu r投影到x轴上；旋转：cossincoscoscossincos,sincossinsinsincossinrAoprrr=uu r()()coscoscossinsincossinsincossinrr+=+，相当于把向量opuu r沿逆时针旋转 角，而cossincossinsincossincosnnnnn=矩阵的迹：1niiia=设()()()()1,nijijiin nn niAaBbtr Aa=方阵的迹：()()tr ABtr BA=评 注：()()1111nnnnikkikiikikkitr ABa bb atr BA=伴随矩阵()1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA=LLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.()1ijijijAM+=评 注：()()*,TTTTijijijijaAAaAAAA=即有故 逆矩阵的求法:评 注：()(),B CABBEB ACBA CECC=逆矩阵具有唯一性:设都是 的逆矩阵，则有 1AAA=注：1abdbcdcaadbc=1 LL主换位副变号 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m7 1()()A EE A MM初等行变换 1231111213aaaaaa=3211111213aaaaaa=逆矩阵概念的推广：p教材87,例3 对矩阵m nA，存在矩阵n mQ，使得mAQE=的充分必要条件是()R Am=；Q的列向量线性无关；对矩阵m nA，存在矩阵n mP，使得nPAE=的充分必要条件是()R An=；P的行向量线性无关；方阵的幂的性质：mnm nA AA+=()()mnmnAA=（只有方阵，幂才有意义）矩阵A的两个多项式()A和()fA总是可以交换，即总有()()()()AfAfAA=从而A的几个多项式可以像数x一样相乘或分解因式，2()(2)2EAEAEAA+=+323()33EAEAAA+=+()121()kkAO kEAEAAA=+L设为正整数，则有：p教材55,14()()()212121kkkkkEAEAAAEAAAAAAAEAE+=+=LLL得证；二项展开式：()011 11110nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b=+=+=LL 评 注：()nab+展开后有1n+项；011110!;1!()!2mnmn mmmmnnnnnnnnnrnrrnnnrnCCCCCCCCm nmCrCnC+=+=设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，则m sABC=()()1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb=LLLMMMLiiAc=，(,)is=L1,2i为iAxc=的解()()()121212,sssAAAAc cc=L12,sc ccL可由12,n 线性表示.即：C 的列向量能由 A的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m8 即：111211111112211212222221122222121122nnnnnnmmmnnmmmmnnmaaacaaacaaacaaacaaacaaac+=+=+=LLLLMMMMMLLLLL 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD=ABABCDCD 分块矩阵的逆矩阵：111AABB=111ABBA=11111ACAA CBOBOB=11111AOAOCBB CAB=分块对角阵相乘：11112222,ABABAB=11112222A BABA B=,1122nnnAAA=分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB=*(1)(1)mnmnAA BBB A=评 注：()()()*11111*111111110m nm nm nAAAA B AAA BBBBA B BBA B BAAABA BBBBAA B A=矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXABAXBC=(I)或 (II)(III)()()()11111;TTTTTTTTTTTTTA BE XA XBXXABEABXABABXCBA=MMMM初等行变换(I)的解法：构造()()(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得()():(III)的解法：精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m9 二、二、向量与矩阵的秩 需要反复揣摩需要反复揣摩 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.12:,mA L为121:,mmB +L的部分组，如果一个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）评 注:()()()()()()()()()()()()1212112112,11,11=,mmmAmmBmABR BR AR AmR BR AmR BmR AR Bm+=+=+LLLL线性相关线性无关记故线性相关。故线性无关。原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动不影响相关性）评 注：设n维向量组()12,nA=L，12iiirixxx=M为r 维；n维向量组()12,rB=L为增加i 的维数得到的（称为导出组），即()121Tirrsxxxxx+=L，则()12,nA=L无关导出组()12,rB=L无关；导出组()12,rB=L相关()12,nA=L相关。两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.评 注：1231122332TTT11111111112123,00000000;nnnnn +=:设有使以左乘上式两端，得；因，故，从而必有类似可证明，于是向量组，线性无关。向量组12,n 中任一向量i(1i)n 都是此向量组的最大无关组的线性组合.向量组12,n 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组12,n 线性无关 向量组中每一个向量i 都不能由其余n1个向量线性表示.评 注：注意线性相关与线性无关的细微差别 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m10 m个n维向量向量组成的向量组，如果维数n小于向量的个数m时一定线性相关。特别地：1n+个n维向量一定线性相关。评 注：()()()()()()12121212,mn mmn mmn mmmnAAR AnR Amm=LLLL个 维向量构成矩阵个向量线性相关。mn个 维列向量组12,m 线性相关()r Am；mn个 维列向量组12,m 线性无关()r Am=.若12,n 线性无关，而12,n 线性相关,则 可由12,n 线性表示,且表示法唯一.评 注：()()1212,()(),();()1;()1(),;()()mmABbR AR BAR AmBR BmmR BmR BmR AR BmA xBbA=+的矩阵必可分解为两个满秩矩阵之积。特别地，当()r A=1 时，必有分解形式：TA=其中,是单行或单列矩阵。行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m11 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：一般初等矩阵指初等行矩阵。因为初等列矩阵变换的集合与初等行矩变换的集合相等，这是关键。对 A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘 A；对 A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘 A.2,.kkmnm nAkkkm knkAkAkm nAkCC在矩阵中任取行列（）位于这些行列交叉处的个元素 不改变它们在中所处的位置次序而得的 阶行列式，称为矩阵的阶子式矩阵的阶子式共有个 矩阵的定义 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()r Ar=向量组的秩 向量组12,n L的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,)nr L 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B.记作：AB=%向量组等价 12,n 和12,n可以相互线性表示.记作：()()1212,nn =%矩阵 A与B 等价 PAQB=，,P Q可逆()(),r Ar BA BA B=为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.评 注：()().()0.,.,0().123ijiijrrr krrrrrrrrrrrkrrrrABR AR BR ArArDABABBDDDDDDDkDDR BrABDiDijDi+=先证明：若 经一次初等行变换变为，则设，且的某个阶子式当或时，在中总能找到与相对应的子式由于或或因此，从而当时，分三种情况讨论：（）中不含第 行；（）中同时含第 行和第 行；（）中含第 行但不(1),(2)0,().(3),0,().0,0,().()().,(rrrrijijrrrrrrrjBDDDR BrDrkrrk rDkDDDiAirR BrDDDR BrABR AR BBAR=+=+=+=MMMMMM含第 行；对两种情形，显然中与对应的子式故对情形，若因中不含第 行知中有不含第 行的阶非零子式若则也有若 经一次初等行变换变为，则又由于也可经一次初等变换变为故也有)().()().,()().,()(),()(),()(),()().,(),()().TTTTTTBR AR AR BABR AR BABABR AR BR AR AR BR BR AR BABABR AR B=Q因此设 经初等列变换变为也有设经初等列变换变为则经初等行变换变为且综上 若经有限次初等变换变为即则 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m12 矩阵 A与B 作为向量组等价1212(,)(,)nnrr =1212(,)nnr 矩阵 A与B 等价.评 注：.ABsrsrrssr=设向量组 与向量组 的秩依次为和 因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故与，所以 向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示 AXB=有解12(,)=nr 1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr .评 注：11(,),(,),()(,)()(,)()()mlABbbR AR A BR BR A BR BR A=LL记有又故 向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且sn，则12,s 线性相关.评 注：0000.(),srijBBBAAABAKk=因组能由 组线性表示，组能由 组线性表示，组能由组线性表示故组能由组线性表示即存在系数矩阵使得 111111110(,)(,)0 (0)()(,)0 .rrssrssrrskkxbbaarsKKxkkxR Ksraa KxBrsrs=LLLMMMLL；如果，则方程组简记为有非零解（因），从而方程组有非零解，这与组线性无关矛盾，因此不能成立，所以 向量组12,s 线性无关,且可由12,n 线性表示,则s n.向量组12,s 可由向量组12,n 线性表示,且1212(,)(,)snrr =,则两向量组等价；p教材94,例10 评 注：01010011011.:,:,(,)(,)(,).()(,),()().(rrrrrrrrrrrrABrABAaaBbbBABArKbbaa KBR bbrR KR bbrR KrR KrKa=LLLLLL只要证明向量组 能由向量组 线性表示设两个向量组的秩都为，并设 组和 组的最大无关组依次为和因 组能由 组线性表示，故组能由组线性表示，即有 阶方阵使;因组线性无关，故有但，因此于是矩阵可逆，并有11100,)(,),.rrrabb KABAB=LL即组能由组线性表示从而 组能由 组线性表示 000 .,(,).(,),(,).(,),(,).,(,),(,).ABrBAABA BAAA BAA BA BAA BrBrBBrBA BA BBAB设向量组 和 的秩都为因 组能由 组线性表示 故 组和 组合并而成的向量组能由 组线性表示而 组是组的部分组 故 组总能由组线性表示 所以组与 组等价 因此组的秩也为 又组的秩为 故 组的最大无关组含 个向量 因此组也是组的最大无关组故组与组等价从而 组与 组等价 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m13 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.评 注：极大无关组与向量组可相互线性表示，于是等价。由等价的传递性，两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.评 注：1212s1212s1212,(1,2 ),;iiiriiiniiinikikiiinaaaa aaaaaa aaaaaaknaaaasttsst=如果向量组(I)与向量组(II)都是向量组的极大线性无关组因为是的极大线性无关组，所以，于是可由线性表示；从而向量组(II)可由向量组(I)线性表示又因向量组(II)是极大线性无关组，所以同理有，所以 设 A是m n矩阵,mAXE=有解的充分必要条件是()r Am=，A的行向量线性无关；p教材81,19 nYAE=有解的必要条件是若()r An=，A的列向量线性无关,即12,n 线性无关.()(),()()()()(),()mmmmTTTnnnAXER AR AEAm nR AmmR ER AER AR AmYAEA YEAnmYAEr An=有解的充分必要条件是，是矩阵由秩的性质有，；所以对两边转置，有是矩阵.有上的证明有有解的充要条件是,(),Am nAXAYR AnXY=设 是矩阵，若且则()()0()00AXAYA XYR AnA XYXYXY=由，有，由，则矩阵方程只有零解，即 从矩阵 A划去一行（列）得B 问,A B的秩的关系（任意矩阵每减少一行或一列，其秩减少不超过任意矩阵每减少一行或一列，其秩减少不超过 1）()()()()()()(),.,(),1()1ABa AB aR AR B aR BR B aR BR BR AR B=+:不妨改为从矩阵 中划去一列得记划去的一列为从而由秩的性质有：，所以有()1,TTR AabAab=的充要条件是存在非零列向量 及非零行向量使得()()121212(,),(,)()0,()()1,1()()min(),()1()1()1,11001,00,000TTTTnnijTTTnaa aabb bbabAababR aR bR AR abR a R bR AAm nR Am nP QAPQPQp pp=LLLLM充分性：，由于，非零，故且从而；必要性：设 为矩阵，因，故存在阶可逆矩阵，使得()121 111101,000,TTTTnTTqqp qqap bqPQab =LMM令注意到，是可逆矩阵，从而不可能有全为零的行与列从而，就是满足条件的非零向量 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m14 12121212:(,):(,)(,)(,)()rsrsBb bbAb bbKKsrABR Kr =设向量组能有向量组线性表示为：其中 为矩阵，且 组线性无关。证明 组线性无关的充要条件是：12121 122(,)(,),()()(),(),()()min(,).()0.0.,0;()0rsrrBBb bbABAKR BR AKR KBR BrR KrKsrR Ks rrR Krxbx bx bBxBAKAKxAR AsAKx=+=L必要性：设 组线性无关记，则有由秩的性质有由 组线性无关，则故又 为矩阵。故充分性：记方程为代入则组线性无关.方程只有零解.0,()00KxR KrKxxB=则，方程只有零解.则。所以 组线性无关 矩阵m nAl nB的行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组00AxBx=与同解。p教材101,例14 也可表述为00AxBx=与可互推的充分必要条件是它们同解 评 注()0000,0()(),()(),TTTTAxBxAxAxStntBxBAR AR BRR AR BR ABABABB=条件的必要性是显然的，下证明充分性：设方程与同解，从而也与方程，即同解，设解集 的秩为,则三个系数矩阵的秩都为故即所以 与 的列向量等价，即 与 的行向量等价 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m15 矩阵的秩的性质：()AOr A若1 ()0AOr A=若 0 ()m nr A min(,)m n ()()()TTr Ar Ar A A=p教材101,例15 0,0TA AA=若则 p教材51,例16 评 注：()()()()()0,()0,00,0,0000()()TTTTTTTTTAm nxnxAxAAxA A xxA A xxA A xAxAxAxAxA A xr A Ar A=设 为矩阵，为 维列向量若 满足则有即若 满足则有即；从而可推知综上可知与同解，因此 ()()r kAr Ak=若0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx+=若若0的列向量全部是的解 p及附（5）教材101例13 评 注：121212(,)(,)0,0(1,2,)00(,),()().()()lliilSSSBb bbA b bbAbilBlAxAxSbSR b bbRR BRR ARnR AR Bn=+记则即表明矩阵 的 个列向量都是齐次方程的解；记方程的解集为，知有即。又+故有 ()r AB min(),()r A r Bp教材78定理8 若AB均为n阶方阵()()()R ABR AR Bn+()()()()Ar ABr BBr ABr A=若 可逆若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.可逆矩阵为满秩矩阵()()()GHr GAr AHr A=为列满秩；为行满秩 若()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC=只有零解 在矩阵乘法中有左消去律p教材81，20 若()()()n sr ABr BABOAOr BnBABCBAC=在矩阵乘法中有右消去律.()rrEOEOr ArAAOOOO=若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型.()r AB()()r Ar B+max(),()r A r B(,)r A B ()()r Ar B+p教材70 p教材71()()AOOArrr Ar BOBBO=+()()ACrr Ar BOB+()()R AER AEn+=精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m16 121212,0,()(),AnnAnAxAnAxAxr Ar AAxAn =LLML当 为方阵时当 为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),()()()1()nAxr Ar AAxr Ar Ar Ar A=+=MLMM证明看教材72 讲义8性无关只有零解 不可由线性表示无解 注：AxAx=有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 Ax=向量式 1122nnxxx+=L 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb=LLMMMMML 12,2,jjjmjjn=LM1 1212(,)nnxxx=LM 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m17 矩阵转置的性质：()TTAA=()TTTABB A=()TTkAkA=TAA=()TTTABAB=11()()TTAA=()()TTAA=矩阵可逆的性质：11()AA=111()ABB A=111()kAAk=11AA=111()ABAB 11()()kkkAAA=伴随矩阵的性质：2()nAAA=()ABB A=1()nkAkA=1nAA=*()ABAB 11()()AAAA=()()kkAA=()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An=若若若重要定理重要定理 ABA B=nkAkA=kkAA=ABAB AAA AA E=（无条件恒成立）精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m17 评 注：自己动手证明下自己动手证明下 1)()TTAA=根据转置的定义即可得出 2)()TTTABB A=教材 39,1 1221122(),(),()();()ijm sijs nijm nTTijn mjijijijssiijijijsijsTTTTjiijAaBbABCAcB ADAdca ba ba bdb ab ab acdCDABB A=+=+=LL设记即故 3)()TTkAkA=TAA=行列式的性质 1 4)()TTTABAB=5)11()()TTAA=()()()1111,TTTTTAAEAAEAAA=所以可逆，6)()()TTAA=：()()()*1*TTTAAA A=1)11()AA=111,()A AEAA=由定义有 2)111()ABB A=()()111111111()ABB AABB AAEAAAEABB A=3)111()kAAk=11111()kAkAAk=4)11AA=1111*1111nnnAAAAAAAAA=5)111()ABAB ()()()()()()()1111111111111111111111111110ABA EEBA BBA ABABA BABABA BABA BABBBAAB BAAAB=+=+=+=P教材55 25 6)11()()kkkAAA=1)2()nAAA=()()()*1*122*nnnAAAAAAAAAAA=2)()ABB A=()11111()ABABAB EA B ABA B B AB BA AB A=精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m18 3)1()nkAkA=()()()()1*1111*1;nnnkAkAkA E kAkA kAkAAkA AkAk=4)1nAA=0AA=若，则 1*;nnAAA E AAAAA EA AAAA=5)*()ABAB 6)11()()AAAA=()()()()1*1*11*1AAAAAAAA=7)()()kkAA=1)()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An=若若若 见秩的证明（6）2)ABA B=教材41 ()()121122(),(),2,1,2,(),.1,2,(1)(1)(1)(1)ijijjjnjijijjijinjinnjnjnnnAOAaBbnDEBDA BDbbACbnnjjnDEBCccb ab ab aCABEODrrjnDACDE CCAB+=+=+=LLLL设记阶行列式可知而在 中以乘以第一列，乘以第二列乘以第 列,都加在第列有，其中故再对 的行做有 3)nkAkA=A是数表，k乘以A的每一个数 4)kkAA=注意：().kkkABA B不满足交换律 5)ABAB 6)AAA AA E=（无条件恒成立）()()()()()()11221,.ijijijijijinjnijijnkikjijijkAaAAbba Aa Aa AAAAAA EAAA aAAA E=+=L设记则故同理可得 精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y 007.c o m精华聚集 随心所取 更多资料尽在考研1号网h t t p:/w w w.k y