专题四三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案.pdf

一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 18 页 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1A【解析】因为213cos2cos121255 CC，所以由余弦定理，得22232cos25 1 2 5 1()325 ABACBCAC BCC，所以4 2AB，故选 A 2C【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin24abcabC，所以222sincos2abcCCab，所以在ABC中，4C故选 C 3A【解析】由sin(1 2cos)2sincoscossinBCACAC，得sin2sincossincossinBBCACB，即2sincossincosBCAC，所以2sinsinBA，即2ba，选 A 4A【解析】由余弦定理得213931ACACAC,选 A.5C【解析】设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得 12sin342acc，则3 22ac在ABC中，由余弦定理可得 2222222952322baccacccc，则102bc 由余弦定理，可得222222591022cos2101022cccbcaAbccc，故选 C 6B【解析】11sin22AB BCB，2sin2B，所以45B 或135B 当45B 时，222cos1ACABBCAB BCB，此时1,2ABACBC，易得90A与“钝角三角形”矛盾；当135B 时，222cos5ACABBCAB BCB 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 18 页 7A【解析】因为ABC，由1sin2sin()sin()2AABCCAB 得1sin2sin2sin22ABC，即1sin()()sin()()sin22ABABABABC，整理得1sinsinsin8ABC，又111sinsinsin222SabCbcAacB，因此322222211sinsinsin864Sa b cABCa b c，由12S 得222311264a b c，即816 2abc，因此选项 C、D 不一定成立又0bca，因此()8bc bcbc a，即()8bc bc，选项 A 一定成立又0abc，因此()8ab ab，显然不能得出()16 2ab ab，选项 B 不一定成立综上所述，选 A 8C【解析】由22()6cab可得22226abcab，由余弦定理及3C可得222abcab所以由得6ab，所以13 3sin232ABCSab 9C【解析】tan15tan(6045)23，60tan6060tan15120(3 1)BC 10D【解析】225cos10A，1cos5A，由余弦定理解得5b 11A【解析】边换角后约去sin B，得1sin()2AC，所以1sin2B，但 B 非最大角，所以6B 12C【解析】由余弦定理可得5AC，再由正弦定理得3 10sin10A 13B【解析】coscossinbCcBaA，由正弦定理得2sincossincossinBCCBA，2sin()sinBCA，2sinsinAA，sin1A，ABC 是直角三角形 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 18 页 14B【解析】由正弦定理得：3 22 3sinsinsin60sin45BCACACACAB 15D【解析】由正弦定理，得22sinsinsincos2sinABBAA，即22sin(sincos)2sinBAAA，sin2sinBA，sin2sinbBaA 16D【解析】设ABc，则ADc，23cBD，43cBC，在ABD中，由余弦定理得2222413cos23cccAc，则2 2sin3A，在ABC中，由正弦定理得43sinsin2 23ccBCCA，解得6sin6C 17A【解析】因为120C，2ca，所以2222coscababC，222122()2aabab 所以22,0,ababab ababab 因为0,0ab，所以0ababab，所以ab故选 A 189【解析】因为120ABC，ABC的平分线交AC于点D，所以60ABDCBD，由三角形的面积公式可得111sin120sin60sin60222acac，化简得acac，又0a，0c，所以111ac，则11444(4)()5529cacaacacacacac，当且仅当2ca时取等号，故4ac的最小值为 9 19217；3【解析】因为7a，2b，60A，所以由正弦定理得 32sin212sin77bABa由余弦定理2222cosabcbcA可得 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 18 页 2230cc，所以3c 20152,104【解析】由余弦定理可得，2222224241cos22 4 24ABBCACABCABBC，由22sincos1ABCABC 所以2115sin1 cos1164ABCABC，1sin2BDCSBD BCDBC 11sin()sin22BD BCABCBD BCABC 115152 2242 BCAD 因为BDBC，所以DBCD，所以2ABCDBCDD ，111 cos104coscos2224ABCABCBDC 213 32【解析】单位圆内接正六边形是由 6 个边长为 1 的正三角形组成，所以 613 361 1 sin6022S 222113【解析】4cos5A，5cos13C，所以3sin5A，12sin13C，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 18 页 所以63sinsinsincoscossin65BACACAC，由正弦定理得：sinsinbaBA解得2113b 231【解析】由1sin2B 得6B=或56，因为6C=，所以56B，所以6B=，于是23A有正弦定理，得321sin32b，所以1b 247【解析】由已知得ABC的面积为1sin20sin2AB ACAA10 3，所以3sin2A，(0,)2A，所以3A 由余弦定理得2222cosBCABACAB ACA49，7BC 25(62,62)【解析】如图作PBC，使75BC，2BC=，作出直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点（不与端点重合），且使75BAD，则四边形ABCD就是符合题意的四边形，过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得 62BP=+，在QBC中，可求得62BQ，所以AB的取值范围为(62,62)QDAPBC 261【解析】2223cos24bcaAbc，而sin22sincos243cos21sinsin64AAAaACCc 278【解析】因为0A，所以215sin1 cos4AA，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6 页共 18 页 又115sin3 1528ABCSbcAbc，24bc，解方程组224bcbc，得6b，4c，由余弦定理得 2222212cos642 6 4644abcbcA ，所以8a 28100 6【解析】依题意，30BAC，105ABC，在ABC中，由180ACBBACABC，所以45ACB，因为600AB，由正弦定理可得30sin45sin600BC，即2300BC m，在BCDRt中，因为30CBD，2300BC，所以230030tanCDBCCD，所以6100CD m 29150【解析】在三角形ABC中，100 2AC，在三角形MAC中，sin60sin45MAAC，解得100 3MA，在三角形MNA中，3sin602100 3MN，故150MN 302【解析】由bBcCb2coscos得：sincossincos2sinBCCBB，即sin()2sinBCB，sin2sinAB，2ab，故2ab 3132【解析】3sin5sinAB，32212cos2,53222CabcbaCacbba，所以32 323【解析】2 2sinsin()cos23BACBADBAD 根据余弦定理可得222cos2ABADBDBADABAD，2222 2(3 2)3332 3 23BDBD 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 18 页 33【解析】222221cos2223abcabababcCCabab 2222224()()12cos2823abcabababcCCabab 当2C时，22232233cabca cb cab与333abc矛盾 取2,1abc满足()2ab cab得：2C 取2,1abc满足22222()2ab ca b得：3C 344【解析】根据余弦定理可得2214(7)2 2(7)()4bbb ，解得 b=4 352 7【解析】在ABC中，根据sinsinsinABACBCCBA，得3sinsin2sinsin32ACABCCCB，同理2sinBCA，因此22sin4sinABBCCA22sin4sin()3CC 4sin2 3cos2 7sin()CCC 3615 34【解析】根据sinsinABACCB得535 3sinsin7214ABCBAC，25 311cos1()1414C，所以sinsin()sincoscossinABCBCBC=31115 33 321421414 374【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：1cos3C，21 cos1tan21 cos2CCC，2tan22C，1tantan2tan2ABC，tantantantanCCAB=4（方法二）（方法二）226cos6cosbaCabCabab，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页共 18 页 2222222236,22abccabab abab tantansincossinsincossinsin()tantancossinsincossinsinCCCBABACABABCABCAB 21sincossinsinCCAB 由正弦定理，得：上式2222221411 3cos()662ccccC abab 386【解析】由sincos2BB得12sincos2BB，即sin21B，因02B，所以2,24BB.又因为2,2,ab 由正弦定理得22sinsin4A，解得1sin2A，而,ab则04AB,故6a 39【解析】(1)在ABC中，1cos7B ，(,)2B，24 3sin1 cos7BB 由正弦定理得sinsinabAB78sin4 37A，3sin2A (,)2B，(0,)2A，3A(2)在ABC中，sinsin()sincoscossinCABABAB=3114 3()2727=3 314 如图所示，在ABC中，sinhCBC，sinhBCC=3 33 37142，AC边上的高为3 32 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页共 18 页 40【解析】(1)在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB 由题设知，52sin45sinADB，所以2sin5ADB 由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB(2)由题设及(1)知，2cossin5BDCADB 在BCD中，由余弦定理得 2222cosBCBDDCBD DCBDC 22582 5 2 25 25 所以5BC 41【解析】(1)在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得3B(2)在ABC中，由余弦定理及2a，3c，3B，有2222cos7bacacB，故7b 由sincos()6bAaB，可得3sin7A因为ac，故2cos7A 因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA 所以，sin(2)sin2 coscos2 sinABABAB4 31133 3727214 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页共 18 页 42【解析】（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA 由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA 故2sinsin3BC （2）由题设及（1）得121cos()coscossinsin632BCBCBC 所以23BC，故3A 由题设得21sin23sinabcAA，即8bc 由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc 故ABC的周长为333 43【解析】（1）由已知得 tan3A，所以23A 在ABC中，由余弦定理得222844 cos3cc，即2+224=0cc 解得6c （舍去），4c （2）有题设可得2CAD，所以6BADBACCAD 故ABD面积与ACD面积的比值为1sin26112AB ADAC AD 又ABC的面积为14 2sin2 32BAC，所以ABD的面积为3 44【解析】由题设及ABC得2sin8sin2BB，故sin4(1 cos)BB 上式两边平方，整理得217cos32cos150BB，解得cos1B（舍去），15cos17B （2）由15cos17B 得8sin17B，故14sin217ABCSacBac 又2ABCS，则172ac 由余弦定理及6ac得22222cos()2(1 cos)bacacBacacB 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 11 页共 18 页 1715362(1)4217 所以2b 45【解析】（）在ABC中，因为ab，故由3sin5B，可得4cos5B 由已知及余弦定理，有2222cos13bacacB，所以13b.由正弦定理sinsinabAB,得sin3 13sin13aBAb.所以，b的值为13，sin A的值为3 1313.（）由（）及ac，得2 13cos13A，所以12sin22sincos13AAA，25cos21 2sin13AA 故7 2sin(2)sin2 coscos2 sin44426AAA 46【解析】（）在ABC 中，因为60A，37ca，所以由正弦定理得sin333 3sin7214cACa（）因为37caa，所以60CA，由7a，所以3737c 由余弦定理2222cosabcbcA得222173232bb，解得8b 或5b （舍）所以ABC 的面积113sin8 36 3222SbcA 47【解析】()由tantan2(tantan)coscosABABBA 得sinsinsin2cos coscos coscos cosCABABABAB，所以CBCsinsinsin2，由正弦定理，得cba2=+一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 12 页共 18 页（）由abcabbaabcbaC22222222)(cos 22233311112222()2ccabab 所以Ccos的最小值为12 48【解析】（I）证明：由正弦定理sinsinsinabcABC可知 原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABC A和B为三角形内角,sinsin0AB 则，两边同时乘以sinsinAB，可得sincossincossinsinBAABAB 由和角公式可知，sincossincossinsinsinBAABABCC 原式得证。（II）由题22265bcabc,根据余弦定理可知，2223cos25bcaAbc A为三角形内角，0,A，sin0A 则234sin155A，即cos3sin4AA 由（I）可知coscossin1sinsinsinABCABC，cos11sintan4BBB tan4B 49【解析】(1)2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC，0ABC、，sinsin0ABC 2cos1C，1cos2C 0C，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页共 18 页 3C 由余弦定理得：2222coscababC 221722abab 237abab 133 3sin242SabCab 6ab 2187ab 5ab ABC周长为57abc 50【解析】()1sin2ABDSAB ADBAD 1sin2ADCSAC ADCAD 因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC=由正弦定理可得sin1sin2BACCAB()因为:ABDADCSSBD DC，所以2BD 在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC 222222326ABACADBDDC由()知2ABAC，所以1AC 51【解析】（1）由tanabA=及正弦定理，得sinsincoscosAbBAaB，所以sincosBA=，即sinsin()2BA=+又B为钝角，因此2+A(2，)，故B=2+A，即BA-=2；（2）由（1）知，C=-(A+B)=-(2A+2)=2-2A0，所以A0,4，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 14 页共 18 页 于是sinsinsinsin(2)2ACAA=sincos2AA=22sinsin1AA=2192(sin)48A，因为 0A4，所以 0sin A22，因此2222199sin488A 由此可知sinsinAC的取值范围是（22，98 52【解析】（I）在ABC中，由题意知23sin1 cos3AA，又因为2BA，所有6sinsin()cos23BAA，由正弦定理可得63sin33 2sin33aBbA（II）由2BA得，3coscos()sin23BAA ，由ABC，得()CAB 所以sinsin()sin()CABABsincoscossinABAB 3366()3333 13 因此，ABC的面积1113 2sin3 3 22232SabC 53【解析】：（）2AB，sinsin22sincosABBB，由正弦定理得22222acbabac 3,1bc，212,2 3aa（）由余弦定理得2229 1 121cos263bcaAbc ，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页共 18 页 由于0A，2212 2sin1 cos1()33AA，故2 221242sin()sincoscossin()44432326AAA 54【解析】（）由已知得，PBC=o60，PBA=30o，在PBA 中，由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74，PA=72；（）设PBA=，由已知得，PB=sin，在PBA 中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，tan=34，tanPBA=34 55【解析】（）因为cossinabCcB，所以由正弦定理得：sinsincossinsinABCCB，所以sin()sincossinsinBCBCCB，即cossinsinsinBCCB，因为sinC0，所以tan1B，解得 B=4；（）由余弦定理得：2222cos4bacac，即2242acac，由不等式得：222acac，当且仅当ac时，取等号，所以4(22)ac，解得42 2ac，所以ABC 的面积为1sin24ac2(42 2)4=21，所以ABC面积的最大值为21 56【解析】（）,(0,)sin()sin0ACB A BACB 2sincossincoscossinsin()sinBAACACACB 1cos23AA（II）2222222cos32abcbcAabacB 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页共 18 页 在Rt ABD中，2222371()22ADABBD 57【解析】（1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCb cACACBC sincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA （2）1sin342SbcAbc 2222cos4abcbcAbc，解得：2bc 58【解析】（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC 则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB 所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB 即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA，因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2.ca 由余弦定理222222112coscos,2,44.44bacacBBbaaa及得4=解得 a=1因此 c=2 又因为1cos,0.4BB且所以15sin.4B 因此111515sin1 2.2244SacB 59【解析】由ACBCB和0)cos(21，得.23sin,21cos,0cos21AAA 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 17 页共 18 页 再由正弦定理，得.22sinsinaAbB.22sin1cos,2,BBBBABab从而不是最大角所以知由 由上述结果知).2123(22)sin(sinBAC 设边 BC 上的高为h，则有.213sinCbh 60【解析】由题意知5 33AB=海里，906030,45,DBADAB 105ADB 在DAB中，由正弦定理得sinsinDBABDABADB sin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60sin60cos45ABDABDBADB=5 3(13)10 3(13)2（海里），又30(9060)60,20 3DBCDBAABCBC 海里，在DBC中，由余弦定理得 2222cosCDBDBCBD BCDBC=1300 12002 10 3 20 39002 CD30（海里），则需要的时间30130t（小时）答：救援船到达 D 点需要 1 小时 61【解析】（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB，tanhBD ADAB=DB，故得tantantanHHh，解得：tan4 1.24124tantan1.24 1.20hH 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 18 页共 18 页（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddH HhH HhdH Hhdddd()2()H HhdH Hhd，（当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等号）故当55 5d 时，tan()最大 因为02，则02，所以当55 5d 时，-最大 故所求的d是55 5m