考研数学历年真题(1987-2012)年数学一_可直接打印(纯试题).pdf

微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)当x=_时,函数2xyx取得极小值.(2)由曲线lnyx与两直线e 1yx 及0y 所围成的平面图形的面积是_.1x(3)与两直线1yt 及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_.2zt(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)Lxyy dxxx dy=_.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2,0,0)在此基底下的坐标是_.二、二、(本题满分本题满分 8 分分)求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.三、三、(本题满分本题满分 7 分分)(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),uf x xy vg xxy求,.uvxx(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B四、四、(本题满分本题满分 8 分分)求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a 五五、选择题选择题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 12 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()xaf xf axa 则在xa处(A)()f x的导数存在,且()0fa(B)()f x取得极大值(C)()f x取得极小值(D)()f x的导数不存在(2)设()f x为已知连续函数0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k 则级数21(1)nnknn(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于(A)a(B)1a(C)1na(D)na六六、（本题满分（本题满分 10 分）分）求幂级数1112nnnxn的收敛域，并求其和函数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台七七、（本题满分（本题满分 10 分）分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy其中是由曲线113()0 zyyf xx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八八、（本题满分（本题满分 10 分）分）设函数()f x在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,x函数()f x的值都在开区间(0,1)内,且()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得().f xx九九、（本题满分（本题满分 8 分）分）问,a b为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为_;而事件A至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球,第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211()e,xxf x则X的数学期望为_,X的方差为_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量,X Y相互独立,其概率密度函数分别为微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台()Xfx 1001x其它,()Yfy e0y00yy,求2ZXY的概率密度函数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、一、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.(2)设2()e,()1xf xfxx 且()0 x,求()x及其定义域.(3)设为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分333.Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题二、填空题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 12 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)若21()lim(1),txxf ttx则()f t=_.(2)设()f x连续且310(),xf t dtx则(7)f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间(1,1上定义为()f x 22x1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x 处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵234234,A B 其中234,均为 4 维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_.三三、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x可导且01(),2fx则0 x 时,()f x在0 x处的微分dy是(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程240yyy的一个解且00()0,()0,f xfx则函数()f x在点0 x处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)设幂级数1(1)nnnax在1x 处收敛,则此级数在2x 处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,sk kk使11220sskkk(B)12,s 中任意两个向量均线性无关(C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、四、(本题满分本题满分 6 分分)设()(),xyuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxx y 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数()yy x满足微分方程322e,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数().yy x微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台六六、（本题满分（本题满分 9 分）分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七七、（本题满分（本题满分 6 分）分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.A A八八、（本题满分（本题满分 8 分）分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1P APB的可逆阵.P九九、（本题满分（本题满分 9 分）分）设函数()f x在区间,a b上连续,且在(,)a b内有()0,fx证明:在(,)a b内存在唯一的,使曲线()yf x与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yf x与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为_.(3)设随机变量X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知221()e,(2.5)0.9938,2uxxdu则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)Xfxx求随机变量31YX 的概率密度函数().Yfy微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知(3)2,f 则0(3)(3)lim2hfhfh=_.(2)设()f x是连续函数,且10()2(),f xxf t dt则()f x=_.(3)设平面曲线L为下半圆周21,yx 则曲线积分22()Lxy ds=_.(4)向量场divu在点(1,1,0)P处的散度divu=_.(5)设矩阵300100140,010,003001AI则矩阵1(2)AI=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)当0 x 时,曲线1sinyxx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210,xyz 则点的坐标是(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c yc yy(B)1122123()c yc yccy(C)1122123(1)c yc yccy(D)1122123(1)c yc yccy(4)设函数2(),01,f xxx而1()sin,nnS xbn xx 其中102()sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S 等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式0,A则A中(A)必有一列元素全为 0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)设(2)(,),zfxyg x xy其中函数()f t二阶可导,(,)g u v具有连续二阶偏导数,求2.zx y(2)设曲线积分2()cxy dxyx dy与路径无关,其中()x具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xy dxyx dy的值.(3)计算三重积分(),xz dv其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)将函数1()arctan1xf xx展为x的幂级数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 7 分分)设0()sin()(),xf xxxt f t dt其中f为连续函数,求().f x六六、（本题满分（本题满分 7 分）分）证明方程0ln1 cos2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七七、（本题满分（本题满分 6 分）分）问为何值时,线性方程组13xx123422xxx1236423xxx有解,并求出解的一般形式.八八、（本题满分（本题满分 8 分）分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A的特征值.(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值.九九、（本题满分（本题满分 9 分）分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率()0.5,P A 随机事件B的概率()0.6P B 及条件概率(|)0.8,P B A 则和事件AB的概率()P AB=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210 xx 有实根的概率是_.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为 1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)2xt (1)过点(1,2 1)M且与直线34yt垂直的平面方程是_.1zt(2)设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_.(3)设函数()f x 1011xx,则()f f x=_.(4)积分2220eyxdxdy的值等于_.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x是连续函数,且e()(),xxF xf t dt则()F x等于(A)e(e)()xxff x(B)e(e)()xxff x(C)e(e)()xxff x(D)e(e)()xxff x(2)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()(),fxf x则当n为大于 2 的正整数时,()f x的n阶导数()()nfx是(A)1!()nnf x(B)1()nn f x(C)2()nf x(D)2!()nnf x(3)设a为常数,则级数21sin()1nnann(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知()f x在0 x 的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1 cosxf xfx则在点0 x 处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是(A)1211212()2kk(B)1211212()2kk(C)1211212()2kk(D)1211212()2kk三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求120ln(1).(2)xdxx(2)设(2,sin),zfxy yx其中(,)f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y(3)求微分方程244exyyy的通解(一般解).四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 8 分分)求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分.六六、（本题满分（本题满分 7 分）分）设不恒为常数的函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间(,)a b内可导,且()().f af b证明在(,)a b内至少存在一点,使得()0.f七七、（本题满分（本题满分 6 分）分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1()A EC B CE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八八、（本题满分（本题满分 8 分）分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxx xx xx x成标准型.九九、（本题满分（本题满分 8 分）分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数1()e,2xf xx 则X的概率分布函数()F x=_.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率()P AB=_.(3)已知离散型随机变量X服从参数为 2 的泊松()Poisson分布,即22 e,0,1,2,!kP Xkkk则随机微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台变量32ZX的数学期望()E Z=_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设二维随机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设21cosxtyt,则22d ydx=_.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分dz=_.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是_.(4)已知当0 x 时123,(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221 e1 exxy(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x满足关系式20()()ln2,2tf xfdt则()f x等于(A)e ln2x(B)2eln2x(C)eln2x(D)2eln2x(3)已知级数12111(1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cos sin)Dxyxy dxdy等于(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin)Dxyxy dxdy(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求20lim(cos).xx(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22(),xyz dv其中是由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围城的立体.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将函数()2(11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数211nn的和.六六、（本题满分（本题满分 7 分）分）设函数()f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dxf证明在(0,1)内存在一点,c使()0.f c七七、（本题满分（本题满分 8 分）分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b(1)a、b为何值时,不能表示成1234,的线性组合?(2)a、b为何值时,有1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式.八八、（本题满分（本题满分 6 分）分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九九、（本题满分（本题满分 8 分）分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为 2、方差为2的正态分布,且240.3,PX则0P X=_.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,)f x y(2)2e0,00 xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设函数()yy x由方程ecos()0 x yxy确定,则dydx=_.(2)函数222ln()uxyz在点(1,2,2)M处的梯度gradMu=_.(3)设()f x 211x00 xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_.(5)设1 11 212 12 1212,nnnnnnabababa ba ba ba ba ba bA其中0,0,(1,2,).iiabin则矩阵A的秩()r A=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)当1x 时,函数1211e1xxx的极限(A)等于 2(B)等于 0(C)为(D)不存在但不为(2)级数1(1)(1 cos)(nnan常数0)a(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,xt ytzt 的所有切线中,与平面24xyz平行的切线(A)只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设32()3,f xxx x则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121 都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求20esin1lim.11xxxx(2)设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y(3)设()f x 21exx00 xx,求31(2).f xdx四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求微分方程323exyyy的通解.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 8 分分)计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧.六六、（本题满分（本题满分 7 分）分）设()0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x七七、（本题满分（本题满分 8 分）分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,),M 问当、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八八、（本题满分（本题满分 7 分）分）设向量组123,线性相关,向量组234,线性无关,问:(1)1能否由23,线性表出?证明你的结论.(2)4能否由123,线性表出?证明你的结论.九九、（本题满分（本题满分 7 分）分）设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111,2,3,149 又向量12.3 (1)将用123,线性表出.(2)求(nnA 为自然数).十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2)设随机变量X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2eXE X=_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2(,),NY 服从,上的均匀分布,试求ZXY的概率分微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中221()e)2txxdt.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)函数11()(2)(0)xF xdt xt的单调减少区间为_.(2)由曲线2232120 xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数2()()f xxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin),2nnnaanxbnx则其中系数3b的值为_.(4)设数量场222ln,uxyz则div(grad)u=_.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)设sin2340()sin(),(),xf xtdt g xxx则当0 x 时,()f x是()g x的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos2 d(B)404cos2 d(C)402cos2 d(D)2401(cos2)2d(3)设有直线1158:121xyzl与2:l623xyyz则1l与2l的夹角为(A)6(B)4(C)3(D)2(4)设曲线积分()e sin()cosxLf tydxf xydy与路径无关,其中()f x具有一阶连续导数,且(0)0,f则()f x等于(A)ee2xx(B)ee2xx(C)ee12xx(D)ee12xx(5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则(A)6t 时P的秩必为 1(B)6t 时P的秩必为 2(C)6t 时P的秩必为 1(D)6t 时P的秩必为 2三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求21lim(sincos).xxxx(2)求e.e1xxxdx(3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计算22,xzdydzyzdzdxz dxdy 其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 7 分分)求级数20(1)(1)2nnnnn的和.六、六、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 10 分分)(1)设在0,)上函数()f x有连续导数,且()0,(0)0,fxkf证明()f x在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae证明.baab七七、（本题满分（本题满分 8 分）分）已知二次型22212312323(,)2332(0)f x xxxxxax x a通过正交变换化成标准形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.八八、（本题满分（本题满分 6 分）分）设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中,nmI是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关.九九、（本题满分（本题满分 6 分）分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设 随 机 变 量X服 从(0,2)上 的 均 匀 分 布,则 随 机 变 量2YX在(0,4)内 的 概 率 分 布 密 度()Yfy=_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X的概率分布密度为1()e,.2xf xx (1)求X的数学期望EX和方差.DX(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么?微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)011limcot()sinxxx=_.(2)曲面e23xzxy在点(1,2,0)处的切平面方程为_.(3)设esin,xxuy则2ux y 在点1(2,)处的值为_.(4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_.(5)已知1 11,2,3,1,2 3设,A 其中是的转置,则nA=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项把所选项前的字母填在题后的括号内前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2)二元函数(,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)f x y在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nna收敛,则级数21(1)nnnan(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)20tan(1 cos)lim2,ln(1 2)(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5)已知向量组1234,线性无关,则向量组(A)12233441,线性无关(B)12233441,线性无关(C)12233441,线性无关(D)12233441,线性无关三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)设2221cos()1cos()cos2txtyttuduu,求dydx、22d ydx在2t的值.(2)将函数111()lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数.(3)求.sin(2)2sindxxx四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计算曲面积分2222,Sxdydzz dxdyxyz其中S是由曲面222xyR及,(0)zR zR R 两平面所围成立体表面的外侧.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台五、五、(本题满分本题满分 9 分分)设()f x具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,ff 且2()()()0 xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求()f x及此全微分方程的通解.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设()f x在点0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,xf xx证明级数11()nfn绝对收敛.七七、（本题满分（本题满分 6 分）分）已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八八、（本题满分（本题满分 8 分）分）设四元线性齐次方程组()为122400 xxxx,又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).kk(1)求线性方程组()的基础解析.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九九、（本题满分（本题满分 6 分）分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB且(),P Ap则()P B=_.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X的分布率为X01P1212则随机变量max,ZX Y的分布率为_.十一十一、（本题满分（本题满分 6 分）分）设随机变量X和Y分别服从正态分布2(1,3)N和2(0,4),N且X与Y的相关系数1,2xy 设,32XYZ(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立?为什么?微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填