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1989 年 第 1 页 1989 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一）一、填空题(本题满分 15 分，每小题 3 分)一、填空题(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)以知f(3)=2,则0(3)(3)lim2hfhfh-1(2)设()f x是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，则()f x 1x.(3)设平面曲线 L 为下半圆 Y=21x，则曲线积分)(22yxL(4)向量场22(,)ln(1)zu x y zxy iye jxz k在点 p(1,1,0)处的散度divu2(5)设矩阵A 304041003，I 100010001则逆矩阵1(2)AI10002121001 二、选择题(本题满分 15 分，每小题 3 分)二、选择题(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)当0 x 时，曲线1sinyxx(A)有且仅有水平渐近线；(B)有且仅有铅直渐近线.(C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线；(D)既无水平渐近线，也无铅直渐近线.(2)已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210 xyz，则点P的坐标是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)(C)(3)设线性无关的函数123,y y y都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy 的解，12,c c是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)32211yycyc(B)3212211)1(yccycyc(C)3212211)1(yccycyc(D)3212211)1(yccycyc(D)(4)设函数2(),01,()f xxxs x1sin,nbnn x,x，其中102()sin,(1,2,)nbf xn xdx n，.则1()2s)等于 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 2 页(A)12(B)14(C)41(D)21(B)(5)设A是 4 阶矩阵，且A的行列式0A，则A中(A)必有一列元素全为 0；(B)必有两列元素对应成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.(C)三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)设),()2(xyxgyxfz,其中函数()f t二阶可导，(,)g u v具有连续的二阶偏导数，求yxz2.解：解：2uvzfgygx,2 分 22uvvvvzfxgxyggx y .5 分(2)设曲线积分02)(dyxydxxy与路径无关，其中)(x具有连续的导数，且)0(=0.计算)1,1()0,0(2)(dyxydxxy的值.解：解：由2(,),(,)(),PQP x yxy Q x yyxyx,1 分 得22(),()xyyxxxC.再由(0)0C=0 得，故2()xx.3 分 所以(1,1)(1,1)222(0,0)(0,0)()xy dxyx dyxy dxx ydy.沿直线yx从点(0,0)到点(1,1)积分，得(1,1)123(0,0)01()22xy dxyx dyx dx5 分(3)计算三重积分dyzx)(，其中是由曲面 z=22yx 与 z=221yx 所围成的区域.解：解：利用球面坐标计算2124000sincossinxdvddrrdr1 分 42400011sin(sin2)0244dd.2 分 2124000cossinzdvddrrdr240112sin248d.4 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 3 页 所以()8xz dv.5 分 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分)将函数arctgxf)(xx11展为 x 的幂级数.解：解：由2201()(1),(11)1nnnfxxxx 2 分 得12210000(1)()(0)()(1)21xnxnnnnnf xff t dtt dtxn.而(0)arctan14f，5 分 所以2101(1)arctan,(11)1421nnnxxxxn.6 分 五、(本题满分 7 分)五、(本题满分 7 分)设0()sin()()xf xxxt f t dt,其中f为连续函数，求()f x.解：解：00()sin()()xxf xxxf t dttf t dt,0()cos(),()sin()xfxxf t dt fxxf x.即()()sinfxf xx，2 分 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为00|(0)0,|(0)1xxyfyf.3 分其对应齐次方程的通解为12sincosyCx Cx.4 分设非齐次方程的特解*(sincos)yx ax bx,可得10,2ab；于是*cos2xyx.5 分 因此非齐次方程的通解为12sincoscos2xyCxCxx.6 分 又由初始条件定出121,02CC，从而1()sincos22xf xxx.7 分 六、(本题满分 7 分)六、(本题满分 7 分)证明方程 lnx=xex2cos10dx 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根.解：解：01 cos22 2xdx.2 分 记()ln2 2xF xxe，则11()F xex，()0F e.因当0 xe时，()0F x，()F x递减；当ex 时，()0F x，()F x递增；微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 4 页 故()F x在区间(0,)()ee 和，内分别至多一个零点.5 分 又()2 20F e，34()0,()0F eF e.由零点定理，()F x在区间34(,)()eeee和，内分别有一个零点.故方程0ln1 cos2xxxdxe在(0,)内有且仅有两个实根.7 分七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)问为何值时，线性方程组13123123()4226423xxf xxxxxxx有解，并求出解的一般形式.解：解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换得 1011014122012326142301243101012320001 3分 当10 ，即1时，方程组有解.4 分 这时方程组为131231231423645xxxxxxxx，而1323121xxxx 为其同解方程组.5 分 解之得1323112xxxx .其中3x取任意常数.6 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分)假设为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1)1为 A-1 的特征值；(2)|A为 A 的伴随矩阵 A*的特征值.证：（证：（1）由条件知有非零向量满足A2 分 两端左乘以1A，得1A.3 分 因为非零向量，故0，于是有11A，所以1为1A的特征值.4 分（2）由于1*1|AAA，5 分 故前一式又可写为*11|AA，7 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 5 页 从而有*|AA，所以|A为*A的特征值.8 分 九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分)设半径为 R 的圆面的球心在定球面2222,(0)xyzaa上，问当 R 取何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？解：解：设球面的方程为2222()xyzaR.两球面的交线在xoy面上的投影为222222(4)40RxyaRaz.2 分 记投影曲线所围平面区域为xyD.球面在定球面内的部分的方程为222zaRxy，这部分球面的面积22222()1xyxyxyDDRS RzzdxdydxdyRxy4 分 223242222002RaRaRrRddrRaRr.6 分 令23()40RS RRa，得驻点1240(),3aRR舍去，8 分 由于4()403aS.故当43aR 时，球面在定球面内的部分的面积最大.9 分 十、填空题(本题满分 6 分，每小题 2 分)十、填空题(本题满分 6 分，每小题 2 分)(1)已知随机事件 A 的概率 P(A)=0.5,随机事件 B 的概率 P(B)=0.6 及条件概率 P(B|A)=0.8，则和事件 AB 的概率 P(AB)=0.7(2)甲，乙两人独立的对同一目标射击一次.其命中率分别为 0.6 和 0.5.先已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 0.75(3)若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程 x2+x+1=0 有实根的概率是 0.8.十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分)设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1，标准差(均方差)为2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数 解：解：因相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，故只需确定Z的均值()E Z和方差()D Z.1 分 由于()2()()35E ZE XE Y，3 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 6 页 2()2()()9D ZD XD Y.5 分 所以Z的概率密度函数为2(5)181()3 2zzfze.6 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 7 页 数 学（试卷二）数 学（试卷二）一、填空题 一、填空题【同数学一 第一题】二、选择题 二、选择题【同数学一 第二题】三、三、【同数学一 第三题】四、(本题满分 18 分，每小题 6 分)四、(本题满分 18 分，每小题 6 分)(1)【同数学一第四（1）题】(2)求八分之一球面2222xyzR，0,0,0 xyz的边界曲线的重心，设曲线的线密度1.解：解：设曲线在 XOY，YOZ，ZOX 坐标平面内的弧段分别为123L,L,L(如图)，则曲线质量为123L+LL23342RmdsR.2 分 记曲线重心为(,)x y z，则 123L+LL1xxdsm3 分 123LLL1xdsxdsxdsm131LLL120 xdsxdsxdsmm 22202243RRxRRdxmmRx.5 分 由对称性知43Ryzx，即所求重心为444333RRR，.6 分(3)设空间区域由曲面222zaxy与平面0z 围成，其中a为正的常数，记表面的外侧为S，的体积为V，求证：VdxdyxyzzdzdxzyxdydzzyxS)1(2222.证：证：由高斯公式知原式1 2xyzdxdydz（）2 分 2Vxyzdxdydz.4 分 因关于XOZ坐标平面对称,xyz是上关于y的奇函数,故有0 xyzdxdydz.6 分所以欲证等式成立.五、(本题满分 7 分)五、(本题满分 7 分)【同数学一 第五题】六、(本题满分 7 分)六、(本题满分 7 分)【同数学一 第六题】七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【同数学一 第七题】八、(本题满分 8 分)八、(本题满分 8 分)【同数学一 第八题】九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分)【同数学一 第九题】微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 9 页(4)已知2ln(1)xtyarctgt求 dxdy及 22dxyd.解：解：22111221dyttdxtt，2 分 2222321112241d yttdxttt .4 分(5)已知1(2),(2)02ff 及 201)(dxxf，求 102)2(dxxfx.解：解：设2tx，则 2122001(2)()24tx fx dxft dt1 分 222001()2()8t f ttf t dt2 分 2012()8tdf t3 分 220011()()1 1044tf tf t dt .4 分 三、选择题(本题满分 18 分，每小题 3 分)三、选择题(本题满分 18 分，每小题 3 分)(1)【同数学一 第二、(1)题】(2)若2350ab，则方程043235cbxaxx(B)(A)无实根 (B)有唯一实根(C)有三个不同实根 (D)有五个不同实根(3)曲线cosyx(22x)与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为(A)/2(B)(C)2/2(D)2(4)设函数()f x及()g x都在x a处取得极大值，则函数()()()F xf x g x在x a(D)(A)必取极大值.(B)必取极小值.(C)不可能取极值.(D)是否取极值不能确定.(5)微分方程1 xeyy的一个特解应具有形式（式中,a b为常数）(B)(A)xaeb(B)xaxeb (C)xaebx(D)xaxebx(6)()f x在点ax 可导的一个充分条件是(D)(A)()1(limafhafhh存在(B)hhafhafh)()2(lim0存在 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 10 页(C)hhafhafh2)()(lim0存在(D)hhafafh)()(lim0存在 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分)微分方程)0()1(2xeyxyxx满足0)1(y的解.解：解：由通解公式有112()xxxdxdxxxeyeedxCx2 分 即y 2xxCeex.4 分 再由(1)0y，得Ce.5 分 故所求通解为()xxe eeyx.6 分 五、(本题满分 7 分)五、(本题满分 7 分)【同数学一 第五题】六、(本题满分 7 分)六、(本题满分 7 分)【同数学一 第六题】七、(本题满分 11 分)七、(本题满分 11 分)对函数 y=21xx，填写下表.单调减区间 单调增区间 极 值 点 极 值 凹 区 间 凸 区 间 拐 点 渐 近 线 解：解：单调减少区间(,2),(0,)（分）单调增加区间(2,0)（分）极值点 2（分）极值 1/4（分）凹区间(3,0)(0,),（分）凸区间(,3)（分）拐点(3,2/9)（9 分）渐进线 00 xy和（1分）微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 11 页 八、(本题满分 10 分)八、(本题满分 10 分)设抛物线2yaxbxc过原点，当01x，时0y，又已知该抛物线与x轴及直线1x 所围成的面积为31.试确定,a b c的值，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.解：解：因曲线过原点，故0c.1 分 由题设有1201()323abaxbx dx，即2(1)3ba.3 分 又2212201()()523abVaxbx dxab.5 分 将b的表达式代入上式得2211 4(1)(1)533 9aVaaa.6 分 令2128(1)053327aaVaa，解得54a .8 分 代入b的表达式得32b.9 分 因aV（）135及实际情况，知当53,042abc时，体积最小.10 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 12 页 数数 学（试卷四）学（试卷四）一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)曲线2sinyxx在点(,1)22处的切线方程是1yx.(2)幂级数11nnnx的收敛域是 1,1).(3)齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是1.(4)设随机变量X的分布函数为)(xF00sin0/21/2xAxxx若若若,则 A=1 ；P|x|6=2/1.(5)设随机变量 X 的数学期望 EX=,方差 DX=2，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，有3XP 1/9 .二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)设232)(xxxf,则当 x0 时，(B)(A)()f x与x是等价无穷小量(B)()f x与x是同阶但非等价无穷小量(C)()f x是比x较高阶的无穷小量(D)()f x是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中，正确的结果是 (C)(A)()(xfdxxf(B)()(xfxdf(C)()(xfdxxfdxd(D)()(xfdxxfd(3)【同数学一 第二、(5)题】(4)设 A 和 B 均为 nn 矩阵,则必有 (C)(A)BABA(B)BAAB(C)BAAB (D)111)(BABA(5)以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 (D)(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”(B)“甲，乙产品均畅销”微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 13 页(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分 15 分，每小题 5 分)三、计算题(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)求极限11lim(sincos)xxxx解：解：设1ux，则当x时，0u.01sincos)lim0lim(sincos)uuuuln(uu原式.1 分 而00ln(sincos)cossinlimlim1sincosuuuuuuu4 分 于是原式e.5 分(2)已知(,)zf u v,uxy vxy，且(,)f u v的二阶偏导数都连续,求yxz2.解：解：zfufvxuxvxffyuv2 分 2222222zfufvfufvfyx yuyu vyv uyvyv 4 分 222222fffffxyxyuu vv uvv 22222()ffffxyxyuu vvv.5 分(3)求微分方程 xeyyy 265 的通解.解：解：由特征方程为256(2)(3)0rrrr，知特征根为2,3.1 分 于是对应齐次微分方程的通解为2312()xxy xCeC e.2 分 其中12,C C为任意常数.设所给非齐次方程的特解为*()xyxAe.3 分 将*()y x代入原方程，可得1A，故所给非齐次微分方程的特解为*()xy xe.4 分 从而，所给微分方程的通解为2312()xxxy xCeC ee.5 分 四、（本题满分 9 分）四、（本题满分 9 分）设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 2()10 xpp xe且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格.（1）求该商品的边际收益函数；（2 分）（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格.（4 分）（3）画出收益函数的图形.（3 分）微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 14 页 解：解：(1)收益函数为2()10,06;xR xpxxex1 分 边际收益函数为25(2)xdRMRx edx.2 分(2)由25(2)0 xRx e，得驻点02x.由于12005|(4)502xxxRxee.4 分 可见()R x在点2x 处达到极大值，亦即最大值122(2)1020 xxRxee.于是当产量为时，收益取最大值120e，而相应的价格为110e.6 分(3)由上面的计算结果，易得下表x0,22 2,444,6R0 R 0R单增，凸 极大值20e单减，凸 240(4,)e单减，凹 9 分 收益函数的图形为 五、（本题满分 9 分）五、（本题满分 9 分）已知函数21210)(xxxxxf若若，试计算下列各题：(1)200()xSf x e dx，（4 分）；(2)412(2)xSf xe dx，（2 分）；(3)222(2)nxnnSf xn e dx（n=2,3,）（1 分）；(4)0nnSS.（2 分）解：解：(1)12001(2)xxSxe dxx e dx.1 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 15 页 其中11110001 2xxxxe dxxee dxe，2 分 2222111(2)(2)xxxx e dxx ee dxe.3 分 从而121 201 2(1)Seee.4 分(2)令2tx，则42221020(2)()xtSf xe dxf t edtS e.6 分(3)令2txn，则22200()tnnnSf t edtS e.7 分(4)2200000()nnnnnnSSS eSe8 分 02111Seee.9 分 六、（本题满分 6 分）六、（本题满分 6 分）假设函数()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且0)(xf，记xadttfaxxF)(1)(，证明在(,)a b内0)(xF.证：证：由于()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，因此 21111()()()()()()xxaaF xf xf t dtf xf t dtxaxaxaxa.2 分 由积分中值定理知，存在,ax，使1()()xaff t dtxa.因此1()()()F xf xfxa.4 分 又由于()0fx，知()f x在(,)a b上非增函数，所以当x时，()f xf.因10 xa，故由此可知()0F x.6 分 七、（本题满分 5 分）七、（本题满分 5 分）已知 X=AX+B,其中010111101A,112053B,求矩阵 X.解：解：以E表示 3 阶单位矩阵，由X=AX+B，有(-)E A XB.1 分 其中110101102EA.2 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 16 页 其逆矩阵为102/31/3()12/31/301/3 1/3 EA；4 分 于是102/31/31131()12/31/3202001/3 1/35311 XEAB.5 分 八、（本题满分 6 分）八、（本题满分 6 分）设1,1,11，3,2,12，t,3,13，(1)问当 t 为何值时，向量组321,线性无关？（3 分）(2)问当 t 为何值时，向量组321,线性相关？（1 分）(3)当向量组321,线性相关时，将3表示为1和2的线性组合.（2 分）解：解：设有实数123,k k k，使1212330k aakk a，则得方程组：123123123023030kkkkkkkkk t（*），其系数行列式为 111123513Dtt.2 分(1)当5t 时，0D，方程组（*）只有零解：1230kkk.这时，向量组3,21,aaa线性无关.3 分(2)当5t 时，0D，方程组（*）有非零解，即不存在不全为 0 的常数123,k k k，使1212330k aakk a，这时，向量3,21,aaa线性相关.4 分(3)设5t.由111111123012135000知方程组（*）可化为1323020kkkk.令31k，得121,2kk.因此，有12320aaa.从而3a可以通过1a和,2a表示为3122aaa.6 分 九、（本题满分 5 分）九、（本题满分 5 分）设122212221A，(1)试求 A 矩阵的特征值.（2 分）(2)利用(1)小题的结果，求矩阵1 AE的特征值.其中 E 是三阶单位矩阵（3 分）微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 17 页 解：（解：（1）矩阵 A 的特征方程为2122|212(1)(5)0221 EA，由此得矩阵 A 的特征值1,1,5.2 分（2）由于矩阵 A 的特征值1,1,5，可知1A的特征值为11,1,5.3 分 因此，有1|0E A，11()05EA.由此可见1|(1 1)()|0EEA，11|(1)()|05EEA，即1|2()|0EE A，14|()|05EEA.于是，矩阵1EA的特征值42,2,5.5 分 十、(本题满分 7 分)十、(本题满分 7 分)已知随机变量 X 和 Y 的联合密度为其他若00,0),()(yxeyxfyx，试求：(1)P XY (5 分)；（2）()E XY(2 分)解：解：(1)(,)X YP XYf x y dxdy2 分()000001(1)2yyx yyxyyedxdye dye dyeedy.5 分(2)()0000()1x yxyE XYxyedxdyxe dxye dy.7 分 十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分)设随机变量在 2,5上服从均匀分布.现在对 X 进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：解：以 A 表示事件“对X的观测值大于 3”，即 A3X，由条件知，X的密度函数为125()30 xf x若其他，5312()333P AP Xdx.4 分 以3u表示三次观测值大于 3 的次数（即在三次独立观测中事件 A 出现的次数）.显然，3u服从参数为3n，23p 的二项分布，因此，所求概率为2233333212202()()33327P uCC.8 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 18 页 数 学（试卷五）数 学（试卷五）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)【同数学四 第一、(1)题】(2)某商品的需求量Q与价格P的函数关系为bQap，其中a和b为常数，且0a，则需求量对价格P的弹性是 b .(3)行列式1111111111111111xxxx4x.(4)设随机变量123,XXX相互独立，其中1X在0,6上服从均匀分布，2X服从正态分布23(0,2),NX服从参数为3的泊松分布.记12323YXXX，则DY 46 .(5)【同数学四 第一、(4)题】二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)(1)【同数学四 第二、(1)题】(2)【同数学四 第二、(2)题】(3)【同数学一 第二、(2)题】(4)设 n 元齐次线性方程组 AX0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 AX0 有非零解的充分必要条件是 (B)(A)nr(B)nr(C)nr(D)nr(5)【同数学四 第二、(5)题】三、(本题满分 20 分，每小题 5 分)三、(本题满分 20 分，每小题 5 分)(1)求极限1lim()xxxxe.解：解：原式ln()limxxx exe.1 分 而ln()1limlimxxxxxxeexxe2 分 lim1xxxee3 分 lim1xxxee.4 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 19 页 因此1lim()xxxxee.5 分(2)已知22yxaz，其中1,0aa,求dz.解：解：222222lnlnxyzxxzaaaxxyxy，2 分 222222lnlnxyzyyzaaayxyxy.4 分 222222lnlnln()zzxzayzazadzdxdydxdyxdxydyxyxyxyxy.5 分(3)求不定积分dxxxx2)1ln(.解：解：11ln(1)dxx dxx原式1 分 11ln|ln(1)(1)xxdxxxx2 分 111ln|ln(1)1xxdxxxx3 分 1ln|ln(1)ln|ln(1)xxxxCx4 分 1(1)ln(1)xCx.5 分(4)求二重积分dxdyyxyxD222211，其中 D 是122 yx，0,0yx所围成的区域在第 I 象限部分.解：解：作极坐标变换cossinxrxr，1 分 原式21220011rdrdrr2 分 1202(1)21rdrr3 分 12201ln(1)22rr4 分 1ln222.5 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 20 页 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分)已知某企业的总收入函数为324226xxxR,总成本函数为28xxC，其中 x 表 示产品的产量.求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.解：解：(1)利润函数为23223262481834LRCxxxxxxxx.1 分(2)边际收入函数为226412dRMRxxxdx.2 分(3)边际成本函数为82dCMCxdx.3 分(4)解方程2186120dLxxdx，得1,1.5()xx 舍去.4 分 而由2211(624)300 xxd lxxdx 5 分 知，当1x 时达到极大值2311|(1834)|11xxLxxx.因为0 x 时，()L x只有一个极大值，没有极小值，故此极大值就是最大值.于是，当产量为时利润最大，最大利润为 11.6 分 五、(本题满分 12 分)五、(本题满分 12 分)已知函数22)1(2xxy，试求其单调区间，极值点，及图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数图形.解：解：34(1)xyx，令0y，得0 x.1 分 84(1)xyx，令0y，得12x 2 分 于是，可列出如下表格：x(,1/2)1/2(1/2,0)0(0,1)1(1,)y 0/y0/y拐点1 2(,)2 9极小值 0 无定义(1)由表中计算结果可见：0 x 是函数的极小值点，极小值为；3 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 21 页 点1 2(,)2 9是该曲线的拐点；4 分 区间(,0)(1,)和是函数的单调减区间；5 分 区间(0,1)是函数的单调增区间；6 分 在1(,)2 上函数图形凸，7 分 在1(,1)2和(1,)上函数图形凹.8 分(2)由lim2xy，知2y 为函数图形的水平渐近线；9 分 由1limxy，知1x 为函数的图形的铅垂渐近线.10 分(3)函数图形如下：12 分 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分)【同数学四 第七题】七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【同数学四 第八题】八、(本题满分 5 分)八、(本题满分 5 分)【同数学四 第九题】九、(本题满分 8 分)九、(本题满分 8 分)已知随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为：(,)X Y(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)yYxXP,0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15 求：(1)X 的概率分布；(2)XY 的概率分布；(3)2sinYXZ的数学期望.解：解：(1)X 的概率分为 X0 1 2 P Xx0.250.450.30微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1989 年 第 22 页 3 分(2)X+Y 的概率分为 6 分(3)sin2XYEsin0 0.10sin0.40sin0.35 sin0.15220.400.150.25.8 分 十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分)某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为6001,0()6000,0 xexf x若若，试求：在仪器使用的最初 200 小时那，至少有一只电子元件损坏的概率.解：解：设三只元件编号分别为 1，2，3；以(1,2,3)iA i 表示事件“在仪器使用的最初 200 小时内，第i只元件损坏”；以(1,2,3)iX i 表示“第i只元件的使用寿命”.由题意知(1,2,3)iX i 服从密度为()f x的指数分布.易见 160032001()(200)600 xiiP AP Xedxe.5 分 所求事件的概率1313123123()1()1()1P AAAP A A Aee .8 分 XY01 2 3 P XYs0.10 0.40 0.35 0.15微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台