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1996 年 第 1 页 1996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一）数 学（试卷一）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设2lim()8xxxaxa，则a ln2 .(2)设一平面经过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，则此平面方程为2x+2y3z=0(3)微分方程 2 2xyyye的通解为)1sincos(21xcxceyx(4)函数)ln(2yxu)在 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，-2，2)方向的方向导数为12.(5)设 A 是 4 3 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2,而 B=301020201，则 r(AB)=2 .二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)已知2)()(yxydydxayx 为某函数的全微分，则a等于 (D)(A)1.(B)0.(C)1.(D)2.(2)设 xf有二阶连续导数,且(0)0f,0()lim1xfxx,则 (B)(A)0(f是 xf的极大值(B)0(f是 xf的极小值(C)(0,(0)f是曲线 yf x的拐点(D)0(f不是 xf的极值,(0,(0)f也不是曲线 y=xf的拐点.(3)设0na(1,2,)n，且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(tan)nnnnan (A)(A)绝对收敛(B)条件收敛（C）发散(D)敛散性与有关.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 2 页(4)设 xf有连续的导数，(0)0f，)0(f0，F x=,)()(202dttftxx且当0 x时，)(xF与kx同阶无穷小，则k等于 (C)(A)1.（B）2.(C)3.(D)4.(5)四阶行列式4433221100000000ababbaba 的值等于(D)(A)4321aaaa-4321bbbb(B)4321aaaa+4321bbbb(C)（2121bbaa）（434bba）(D)（3232bbaa）（414bba）三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分)(1)求心形线)cos1(ar的全长,其中0a.解：解：()sinra，2 分 22()dsrrd22(1 cos)(sin)2|cos|2adad 3 分 利用对称性，所求心形线的全长0022 cos8 sin822sadaa.5 分(2)设101x,nnxx61(n=1,2,)，试证数列 nx极限存在，并求此极限.证：证：由110 x 及216164xx，知12xx.假设对某正整数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx，故由归纳法知，对一切正整数n，都有1nnxx.即nx为单调减少数列.3 分 又由16nnxx，显见0(1,2,)nxn，即nx有下界.根据极限存在准则，知limnnx存在.4 分 令limnnxa，对16nnxx两边取极限，得6aa.从而260aa.因此32aa 或.因为0(1,2,)nxn,所以0a.舍去2a ，故极限值3a.5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分)(1)计算曲面积分Szdxdydydzzx）（2,其中 S 为有向曲面22yxz，(10 z)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.解一：解一：以1S表示法向量指向z轴负向的有向平面221(1)zxy，D为1S在XOY平面上的投影区域，则1(2)()SDxz dxdyzdxdydxdy.2 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 3 页 记表示由S和1S所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(2 1)S Sxz dxdyzdxdydv2124211130000336()6242rrrdrdrdzrrdr .5 分 因此13(2)()22Sxz dxdyzdxdy .6 分 解二：以,yzxyDD表示 S 在,YOZXOY平面平面上的投影区域，则(2)Sxz dxdyzdxdy2222(2)()(2)()yzyzxyDDDzyzdydzzyz dydzxy dxdy2224()yzxyDDzy dydzxy dxdy 2 分 其中231112222104(1)3yzyDzy dydzdyzy dzydy42044 3 1sincos33 4 2 24yttdt；2122200()2xyDxydxdydrrdr，5 分 所以1(2)4.222Sxz dxdyzdxdy .6 分(2)设变换ayxvyxu2 可把方程0622222yzyxzxx简化为02vuz，求常数a.解：解：,2zzzzzzaxuvyuv.1 分 22222222zzzzxuu vv,2222222(-2)zzzzaax yuu vv ,2222222244zzzzaayuu vv.4 分 将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0zzaaau vv.依题意知a应满足260,10 50aaa 且，解之得3a.6 分 五、五、(本题满分本题满分 7 分分)求级数222)1(1nnn的和.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 4 页 解：解：设22()(|1)1nnxS xxn，1 分 则2111()()211nnS xxnn，其中122111111nnnnnnxxxxxnnn.23111(0)1nnnnxxxnxn.3 分 设11()nng xxn，则11111()(|1)1nnnng xxxxnx.于是00()()(0)()ln(1)(|1)1xxdtg xg xgg t dtxxt.从而21()ln(1)ln(1)222xxS xxxxx221ln(1)(|10)42xxxxxx且.5 分 因此221153ln2(1)2284nnsn.7 分 六、六、(本题满分本题满分 7 分分)设对任意0 x,曲线)(xfy 上点)(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于xdttfx0)(1,求)(xf的一般表达式.解：解：曲线()yf x上点(,()x f x处的切线方程为()()()Yf xfx Xx.1 分 令0X，得截距()()Yf xxfx.3 分 由题意，知01()()()xf t dtf xxfxx.即0()()()xf t dtx f xxfx.上式对x求导，化简得()()0 xfxf x，5 分 即()0dxfxdx，积分得1()x fxC.因此12()lnf xCxC（其中12,C C为任意常数）.7 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分)设)(xf在1,0上具有二阶导数，且满足条件axf)(，bxf)(，其中ba,都是非负常数，c是0,1内的任意一点.证明22)(bacf.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 5 页 证：证：2()()()()()(),(*)2!fxcf xf cf c xc其中(),01cxc.2 分 在()式中令0 x，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!fcff cf ccc在()式中令1x，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!fcff cf ccc上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!fff cfcfc.5 分 于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!f cfffcfc222111(1)|(0)|()|(1)|()|2!2!fffcfc22(1)2baacc.7 分 又因22(0,1),(1)1ccc，故|()|22bf ca.8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分)设TAI,其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明：(1)AA 2的充要条件是1T；(2)当1T时,A是不可逆矩阵.证：证：(1)2()()2TTTTTAIII (2)(2)TTTTII .AA 2即(2)TTTII ，亦即()TTI O，因为是非零列向量，0T，故AA 2的充要条件是10T，即1T.3 分(2)用反证法：当1T时AA 2.若 A 可逆，则有121A AA A，从而AI.这与TAII 矛盾，故 A 是不可逆矩阵.6 分 九、九、(本题满分本题满分 8 分分)已知二次型32312132132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程12 3(,)4f x x x 表示何种二次曲面.解：解：(1)此二次型对应矩阵为A 51315333c，1 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 6 页 因()2r A，故513|153033Ac，解得3c.容易验证此时A的秩的确是 2.3 分 这时，|(4)(9)IA，故所求特征值为0,4,9.6 分(2)由上述特征值可知，123(,)1f x xx表示椭圆柱面.8 分 十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分)(1)设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从 A 和 B 的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 生产的概率是37.(2)设,是两个相互独立且均服从正态分布21(0,()2N的随机变量，则随机变量|的数学期望(|)E2.十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)设,是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知的分布律为1(),1,2,33Pii.又设max,min,XY .(1)写出二维随机变量(,)X Y发分布律；(2)求随机变量 X 的数学期望.解：解：(1)Y X 1 2 3 1 1/9 0 0 2 2/9 1/9 0 3 2/9 2/9 1/9 4 分(2)13522()1239999E X 6 分 注：注：写对分布律中的 1 个数得 1 分，24 个得 2 分，57 个得 3 分，89 个得 4 分.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 7 页 数 学（试卷二）数 学（试卷二）一、填空题一、填空题【同数学一 第一题】二、选择题二、选择题【同数学一 第二题】三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分)(1)计算积分dxdyyxD22，其中 D=xyxxyyx2,0,22.解：解：原式2cos400dr rdr3408cos3d 3 分 42340088110(1 sin)sinsinsin23339d.5 分(2)【同数学一 第三、（1）题】(3)【同数学一 第三、（2）题】四四 七、七、【同数学一 第四 七题】八、八、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分)(1)求齐次线性方程组000543321521xxxxxxxxx的基础解系.解：解：1100111001111000010100111000103 分 解得基础解系为12(1,0,1,0,1),(1,1,0,0,0).6 分(2)【同数学一 第八题】九、九、(本题满分本题满分 8 分分)【同数学一 第九题】微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 8 页 数 学（试卷三）数 学（试卷三）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设322)(xexy,则|0 xy1/3.(2)1122)1(dxxx 2 .(3)052 yyy的通解为)2sin2cos(21xcxceyx.(4)11ln(sin)31ln(sinlimxxxx 2 .(5)由曲线1yxx,2x 及2y 所围图形的面积S 1ln22.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设当0 x时，)1(2bxaxex是比2x高阶的无穷小，则 （A）(A)121ba，(B)11ba，(C)121ba，(D)11ba，.(2)设函数()f x在区间),(内有定义，若当),(x时，恒有2()f xx，则0 x 必是()f x的（C）(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且(0)0f.(D)可导的点，且(0)0f (3)设()f x处处可导，则（D）(A)当lim()xf x时，必有lim()xfx (B)当lim()xfx 时，必有lim()xf x(C)当lim()xf x时，必有lim()xfx (D)当lim()xfx 时，必有lim()xf x(4)在区间),(内，方程0cos2141xxx（C）(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有二个实根 (D)有无穷多个实根(5)设()()f xg x、在区间,a b上连续，且()()g xf xm（m为常数），则曲线()yg x，()yf x，xa及xb所围成图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为 （B）(A)badxxgxfxgxfm.)()()()(2微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 9 页(B)badxxgxfxgxfm.)()()()(2(C)badxxgxfxgxfm.)()()()(D)badxxgxfxgxfm.)()()()(三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分)(1)计算2ln021dxex解一：解一：原式ln2ln2ln2222000111xxxxxxe dxeedxeee 3 分 ln22033ln(1)ln(23)22xxee.5 分 解二：解二：令sinxet，则cossintdxdtt，原式2222666cos1sinsinsintdtdttdttt3 分 2633ln(csccot)ln(23)22tt.5 分(2)求xdxsin1解一：解一：原式21 sincosxdxx2 分 1tancosxCx.5 分 解二：解二：原式222sec2(cossin)(1tan)222xdxdxxxx3 分 2(1tan)222(1tan)1tan22xdCxx.5 分(3)设2022()()txf u duyf t,其中()f u具有二阶导数，且()0f u，求22d ydx.解：解：222(),4()(),dxdyf ttf tf tdtdt微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 10 页 所以22224()()4()()dydytf tf tdttf tdxdxf tdt.2 分 22222214()2()()d yddyf tt ftdxdxdtdxf tdt.5 分(4)求函数()f x xx11在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.解：解：2()11f xx，()1(1)2!()(1,2,1)(1)kkkkfxknx.3 分 所以12122()1 22(1)2(1)(1)nnnnnxf xxxx (在 0 与x之间).5 分(5)求微分方程2 xyy的通解.解一：解一：对应的齐次方程的特征方程为20，解之得0,1，故齐次方程的通解为12xyCC e.2 分 设非齐次方程的特解为2()x axbx C，代入原方程得1,1,23abc.因此，原方程的通解为3212123xyxxxCC e.5 分 解二：解二：令py，代入原方程得2ppx，2 分 故220022xxxxxxpex e dxCex exeeC.再积分得到20(22)xyxxc edx 3212123xxxxCC e.5 分 解三：解三：原方程为2()yyx，两边积分得3013yyxC.3 分 30213xxyexCe dxC320213663xxxxxxex ex exeeC eC3212123xxxxCC e.5 分(6)设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22ab、，用过此柱体底面的短轴且与底面成解（20）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积 V.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 11 页 解一：解一：底面椭圆的方程为22221xyab，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为221yab，另一直角边长为221tanyab，故截面面积222()1tan2ayS yb，3 分 楔形体的体积为22220221tantan23baya bVdyb.5 分 解二：解二：底面椭圆的方程为22221xyab，以垂直于x轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其一边长为22221xyba，另一边长为tanx，故截面面积22()21tanxS xbxa，3 分 楔形体的体积为32222222002221tantan1tan33abxaxa bVbxdxbaa.5 分 四、四、(本题满分本题满分 8 分分)计算不定积分.)1(22dxxxarctgx解一：解一：原式22arctanarctan1xxdxdxxx2 分 22arctan1(arctan)(1)2xdxxxxx 4 分 2222arctan1111()(arctan)212xd xxxxx 6 分 222arctan11(arctan)ln221xxxCxx.8 分 解二：解二：令tanxt，则 原式2(csc1)ttdt=2 分 2cos1cotsin2tttdttt 4 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 12 页 21cotln|sin|2ttttC6 分 22arctan|1ln(arctan)21xxxCxx.8 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数.2,1612,21,1,21)(32xxxxxxxf(1)写出()f x的反函数()g x的表达式；(2)问()g x是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.解：解：(1)由题设，()f x的反函数为3112()1816812xxg xxxxx .4 分(2)()g x在(,)内处处连续，没有间断点.5 分()g x的不可导点是01xx 及.8 分（注：多写一个不可导点8x 扣 1 分）六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数()yy x由方程1222223xxyyy所确定.试求()yy x的驻点，并判别它们是否为极值点.解：解：对原方程两边求导可得2320()y yyyxyyx2 分 令0y，得yx.将此代入原方程有32210 xx.从而解得唯一的驻点1x.5 分()式两边求导，得22(32)2(31)210yyx yyyy.因此(1,1)1|02y，故驻点1x 是()yy x的极小值点.8 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分)设()f x在区间,a b上具有二阶导数，且()()0f af b，()()0.fa fb 证明存在(,)a b和),(ba，使()0f及0)(f.证一：证一：先用反证法证明存在(,)a b，使()0f.若不存在(,)a b，使()0f，微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 13 页 则在区间(,)a b内恒有()0f x 或()0f x.不妨设()0f x（对()0f x，类似可证），则()()()()limlim0 xbxbf xf bf xf bxbxb，3 分()()()()limlim0 xaxaf xf af xf axaxa.从而()()0fa f b，这与已知条件矛盾.这即证得存在(,)a b,使得()0f.5 分 再由()()()f aff b及罗尔定理，知存在12(,)(,)ab和，使得12()()0ff.又在区间12,上对()fx应用罗尔定理知，存在12(,)(,)a b，使()0f.8 分 证二：证二：不妨设()0,()0faf b（对()0,()0faf b类似可证），即()lim0 xaf xxb，()lim0 xbf xxb.故存在11(,)xa a和22(,)xbb，使1()0f x 及2()0f x，其中12,为充分小的正数.显然12xx，在区间12,x x上应用介值定理知，存在一点12(,)(,)x xa b，使得()0f.5 分 以下同证一.八、八、(本题满分本题满分 8 分分)设()f x为连续函数.(1)求初值问题0()0|xyayf xy的解()yy x，其中a是正常数；(2)若()f xk(k为常数)，证明：当0 x时，有()(1).axky xea证一：证一：(1)原方程的通解为()()()axaxaxy xef x e dxCeF xC，2 分 其中()F x是()axf x e的任一原函数.由(0)0y得(0)CF，故 0()()(0)()xaxaxaty xeF xFef t e dt.4 分(2)0()()xaxaty xef t e dt6 分 0 xaxatkee dt(1)(1),0axaxaxkkeeexaa.8 分 证二：证二：在原方程的两端同乘以axe，得()axaxaxyeayef x e.从而()()axaxyef x e，2 分 所以0()xaxatyef t e dt或0()xaxatyef t e dt.4 分（2）同证一 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 14 页 数 学（试卷四）数 学（试卷四）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设方程yyx 确定y是x的函数，则dy(1 ln)dxxy.(2)设cxdxxxfarcsin)(，则)(xfdx2 31(1)3xC.(3)设（00,yx）是抛物线cbxaxy2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数,a b c应满足的关系是200(),c aaxc b或任意.(4)设123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa，123nxxXxx，1111B ，其中(;,1,2,)ijaa ij i jn，则线性方程组BXAT的解是(1,0,0)TX(5)设由来自正态总体 X)9.0,(2N容量为 9 的简单随机样本，得样本均值5X，则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间是 (4.412 ,5.588)二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)累次积分drrrrfd20cos0)sin,cos(可以写成(D)(A)dxyxfdyyy1002),(.(B)dxyxfdyy10102),(.(C)dyyxfdx1010),(.(D)dyyxfdxxx1002),(.(2)下述各选项正确的是(A)(A)若21nnu和21nnv都收敛，则21()nnnuv收敛(B)若1n nnu v收敛，则21nnu和21nnv都收敛 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 15 页(C)若级数1nnu发散，则1nun(D)若级数1nnu收敛，且nnuv(1,2,)n，则级数1nnv也收敛(3)设 n 阶矩阵 A 非奇异),2(nA是矩阵 A 的伴随矩阵，则(C)(A)(A)=AAn 1(B)(A)=AAn 1(C)(A)=AAn 2(D)(A)=AAn 2(4)设有任意两个 n 维向量组12,m 和12,m，若存在两组不全为零的12,m 和12,mk kk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则 (D)(A)12,m 和 12,m 都线性相关(B)12,m 和 12,m 都线性无关(C)11221122,mmmm 线性无关(D)11221122,mmmm 线性相关(5)已知 0P(B)0，则下列选项必然成立的是 (B)(A)()()P AP A B(B)()()P AP A B(C)()()P AP A B (D)()()P AP A B三、三、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四 第三题】四、四、(本题满分本题满分 7 分分)设20(,)xytf x yedt，求222222yfxyyxfxfyx微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 24 页 解解：22x yfyex，2 分 22x yfxey，222322x yfxy ex，4 分 222322x yfx yey，22222(1 2)x yfx y ex y.6 分 于是222222222x yxffyfeyxx yxy .7 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分)【同数学四 第五题】六、六、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学四 第七题 分值不同】七、七、(本题满分本题满分 9 分分)已知一抛物线通过 x 轴上的两点 A(1,0)，B(3,0).(1)求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 x 轴与该抛物线所围图形的面积；(2)计算上述两个平面图形绕 x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.解：解：(1)设过,A B两点的抛物线方程为(1)(3)ya xx，则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为110|(1)(3)|Sa xxdx1 分 1204|(43)|3axxdxa.2 分 抛物线与x轴所围图形的面积为321|(1)(3)|Sa xxdx3 分 3214|(43)|3axxdxa.4 分 所以12SS.(2)抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为12210(1)(3)Vaxxdx5 分 124320(1)4(1)4(1)axxxdx5324120(1)4(1)38(1).5315xxaxa6 分 抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为 32221(1)(3)Vaxxdx353241(1)4(1)(1)53xxax7 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 25 页 216.15a8 分 所以12198VV.9 分 八、八、(本题满分本题满分 5 分分)设)(xf在,a b上连续，在(,)a b内可导，且1()()baf x dxf bba求证：在(,)a b内至少存在一点,使)(f =0.证：证：因为()f x在,a b上连续，由积分中值定理可知，在(,)a b内存在一点c，使得()()()baf x dxf c ba.2 分 即()()()baf x dxf cf bba.3 分 因为()f x在,c b上连续，在(,)c b内可导，故由罗尔定理，在(,)c b内至少存在一点出，使得()0f，其中(,)(,)c ba b.5 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分)已知线性方程组 t=x-6x-x-x-1=7x+px+x2+3x-1=4x+6x-x+2x0=x3+2x-x x4321432143214321，讨论参数 p,t 取何值时，方程组有解?无 解?当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解：解：方程组系数矩阵 A 的增广矩阵为11230104112164101221327100800116100002Apptt3 分(1)当2t 时，()()AA秩秩，方程组无解.4 分(2)当2t 时，()()AA秩秩，方程组有解.5 分(a)若8p ,得通解1212141122(,010001xccc c为任意常数）.7 分 微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台1996 年 第 26 页(b)若8p 得通解1112(0001xcc为任意常数）.9 分 十、十、(本题满分本题满分 7 分分)设有 4 阶方阵 A 满足条件30IA，IAAT2，0A，其中 I 是 4 阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵*A的一个特征值.解：解：由3|(3)|0IAAI，得 A 的一个特征值3.1 分 又4|2|2|16TAAII，2|16TA AA.于是|4A .3 分 由于|0A，知 A 可逆.设 A 的对应于特征值3 的特征向量为，则3A，由此得11(3)A AA.即113A，知13是1A的特征值.5 分 由于*114|(4)()33AA A，所以*A有特征值43.7 分 十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分)【同数学四 第十一题】十二、十二、(本题满分本题满分 6 分分)某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 0 的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T 的概率分布.解：解：以(1,2,3)iX i 表示第i个电气元件无故障工作的时间，则123,XXX相互独立且同分布，其分布函数为1,0()00 xexF xx 若，若，1 分 设()G t是 T 的分布函数.当0t 时，()0G t.当0t 时，有()1G tP TtP Tt 3 分 1231,P Xt Xt Xt 4 分 1231P XtP XtP Xt 5 分 31 1()F t 6 分 31te.7 分 总之，31,0()00tetG tt 若，若，于是 T 服从参数为3的指数分布.微信公众号【考研路上的幸福哥】考研干货最多的考研平台