专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何答案.pdf

一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 52 页 专题八 立体几何 第二十四讲 空间向量与立体几何 答案部分 1【解析】(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面 PEF 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD(2)作PHEF，垂足为H由(1)得，PH平面ABFD 以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz HzyxPFEDCBA 由(1)可得，DEPE又DP=2，DE=1，所以PE=3 又PF=1，EF=2，故PEPF 可得32PH,32EH 则(0,0,0)H，3(0,0,)2P，3(1,0)2 D，33(1,)22DP，3(0,0,)2HP 为平面ABFD的法向量 设DP与平面ABFD所成角为，则334sin|4|3HP DPHPDP 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 52 页 2【解析】(1)在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，四边形11AACC为矩形 又E，F分别为AC，11AC的中点，ACEF ABBC ACBE，AC平面BEF(2)由(1)知ACEF，ACBE，EF1CC 又1CC平面ABC，EF平面ABC BE平面ABC，EFBE 如图建立空间直角坐称系Exyz zyxC1B1A1GFEDCBA 由题意得(0,2,0)B，(1,0,0)C，(1,0,1)D，(0,0,2)F，(0,2,1)G=(2 0 1)CD，=(1 2 0)CB，设平面BCD的法向量为()a b c，n，00CDCBnn，2020acab，令2a，则1b ，4c ，平面BCD的法向量(214)，n，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 52 页 又平面1CDC的法向量为=(0 2 0)EB，21cos=21|EBEBEBnnn 由图可得二面角1BCDC为钝角，所以二面角1BCDC的余弦值为2121(3)平面BCD的法向量为(214)，n，(0,2,1)G，(0,0,2)F，=(02 1)GF，2GF n，n与GF不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交 3【解析】(1)因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC 由222OPOBPB知POOB 由OPOB，OPAC知PO平面ABC(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz zyxABCPMO 由已知得(0,0,0)O，(2,0,0)B，(0,2,0)A，(0,2,0)C，(0,0,2 3)P，(0,2,2 3)AP，取平面PAC的法向量(2,0,0)OB 设(,2,0)(02)M aaa，则(,4,0)AMaa 设平面PAM的法向量为(,)x y zn 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 52 页 由0,0APAMnn得22 30(4)0yzaxa y，可取(3(4),3,)aaan，所以2222 3(4)cos,2 3(4)3aOBaaan由已知得3|cos,|2OBn 所以2222 3|4|3=22 3(4)3aaaa解得4a （舍去），43a 所以8 3 4 34(,)333 n又(0,2,2 3)PC，所以3cos,4PCn 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34 4【解析】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD 因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以 DMCM 又BCCM=C，所以DM平面BMC 而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz zyxABCDM 当三棱锥MABC体积最大时，M为CD的中点 由题设得(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)M，(2,1,1)AM ，(0,2,0)AB，(2,0,0)DA 设(,)x y zn是平面MAB的法向量，则 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 52 页 0,0.AMABnn即20,20.xyzy 可取(1,0,2)n DA是平面MCD的法向量，因此 5cos,5|DADADAnnn，2 5sin,5DA n，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2 55 5【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D，(2,0,0)A，(1,2,0)B，(0,2,0)C，(2,0,2)E，(0,1,2)F，(0,0,2)G，3(0,1)2M，(1,0,2)N zyxMGFEDCBAN(1)证明：依题意(0,2,0)DC，(2,0,2)DE 设0(,)x y zn为平面CDE的法向量，则0000DCDE，nn 即20220yxz，不妨令1z ，可得0(1,0,1)n 又3(1,1)2MN，可得00MNn，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE(2)依题意，可得(1,0,0)BC ，(12 2)BE，(0,1,2)CF 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6 页共 52 页 设(,)x y zn为平面BCE的法向量，则00BCBE，nn 即0220 xxyz，不妨令1z，可得(0,1,1)n 设(,)x y zm为平面BCF的法向量，则00BCBF，mm 即020 xyz ，不妨令1z，可得(0,2,1)m 因此有3 10cos,|10m nm nm n，于是10sin,10m n 所以，二面角EBCF的正弦值为1010(3)设线段DP的长为h(0.2h)，则点P的坐标为(0,0,)h，可得(12)BPh ，易知，(0,2,0)DC 为平面ADGE的一个法向量，故 22cos5BP DCBP DCBP DCh，由题意，可得223sin6025h，解得30,23h 所以线段DP的长为33 6【解析】如图，在正三棱柱111ABCABC中，设AC，11AC的中点分别为O，1O，则OBOC，1OOOC，1OOOB，以1,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系Oxyz 因为12ABAA，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()ABCABC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 52 页 O1OzyxABCQPA1C1B1(1)因为P为11A B的中点，所以31(,2)22P，从而131(,2)(0,2,222),BPAC，故111|14|3 10|cos,|20|52 2BP ACBP ACBPAC 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为3 1020(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以3 1(,0)22Q，因此3 3(,0)22AQ，11(0,2,2),(0,0,2)ACCC 设 n=（x，y，z）为平面 AQC1的一个法向量，则10,0,AQACnn即330,22220.xyyz 不妨取(3,1,1)n，设直线 CC1与平面 AQC1所成角为，则111|25sin|cos|,|552CCCCCC|nnn，所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为55 7【解析】（1）由已知90BAPCDP，得 ABAP，CDPD 由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页共 52 页（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD 以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz FzyxDCBAP 由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C 所以22(,1,)22PC ，(2,0,0)CB，22(,0,)22PA，(0,1,0)AB 设(,)x y zn是平面PCB的法向量，则 00PCCBnn，即2202220 xyzx，可取(0,1,2)n 设(,)x y zm是平面PAB的法向量，则 00PAABmm，即220220 xzy，可取(1,0,1)n 则3cos,|3 n mn mn m，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页共 52 页 所以二面角APBC的余弦值为33 8【解析】（1）取PA的中点F，连结EF，BF因为E是PD的中点，所以EFAD，12EFAD 由90BADABC得BCAD，又12B CA D，所 以E FB C，四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图的空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,3)P，(1,0,3)PC，(1,0,0)AB zyxFPABCDME 设(,)M x y z(01)x，则(1,)BMxy z，(,1,3)PMx yz 因为BM与底面ABCD所成的角为45，而(0,0,1)n是底面ABCD的法向量，所以|cos,|sin45BMn，222|22(1)zxyz，即222(1)0 xyz 又M在棱PC上，设PMPC，则 x，1y，33z 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页共 52 页 由，解得212162xyz （舍去），212162xyz 所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM 设000(,)x y zm是平面ABM的法向量，则 0=0AMABmm，即0000(22)2600 xyzx，所以可取(0,6,2)m，于是10cos,|5m nm nm n 因此二面角MABD的余弦值为105 9【解析】（1）由题设可得，ABDCBD，从而ADDC 又ACD是直角三角形，所以0=90ACD 取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO 又由于ABC是正三角形，故BOAC 所以DOB为二面角DACB的平面角 在Rt AOB中，222BOAOAB 又ABBD，所以222222BODOBOAOABBD，故90DOB 所以平面ACD平面ABC（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，则 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 11 页共 52 页 OxyzEDCBA(1,0,0)A，(0,3,0)B，(1,0,0)C，(0,0,1)D 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得3 1(0,)22E故(1,0,1)AD ，(2,0,0)AC ，3 1(1,)22AE 设=x,y,zn是平面DAE的法向量，则ADAE0，0，nn即xzxyz 031022 可取3(1,1)3n 设m是平面AEC的法向量，则0，0，ACAEmm同理可得(0,1,3)m 则cos,77n mn mn m 所以二面角DAEC的余弦值为77 10【解析】如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 12 页共 52 页(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,4,0)C，(0,0,4)，(0,0,2)D，(0,2,2)E，(0,0,1)M，(1,2,0)N （）证明：DE=(0,2,0)，DB=(2,0,2)设(,)x y zn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz不妨设1z，可得(1,0,1)n又MN=（1，2，1），可得0MN n 因为MN 平面 BDE，所以 MN/平面 BDE（）易知1(1,0,0)n为平面 CEM 的一个法向量设2(,)x y zn为平面 EMN 的法向量，则2200EMMNnn，因为(0,2,1)EM ，(1,2,1)MN，所以2020yzxyz不妨设1y，可得2(4,1,2)n 因此有1212124cos,|21 n nn n|nn，于是12105sin,21n n 所以，二面角 CEMN 的正弦值为10521（）依题意，设 AH=h（04h），则 H（0，0，h），进而可得(1,2,)NHh ，(2,2,2)BE 由已知，得2|22|7|cos,|21|52 3NH BEhNH BENHBEh，整理得2102180hh，解得85h，或12h 所以，线段 AH 的长为85或12 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页共 52 页 11【解析】（）设,AC BD交点为E，连接ME 因为PD平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PDME 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，在PBC中，知M为PB的中点 （）取AD的中点O，连接OP，OE 因为PAPD，所以OPAD 又因为平面PAD平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP 平面ABCD 因为OE 平面ABCD，所以OPOE 因为ABCD是正方形，所以OEAD 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，(4,4,0)BD，(2,0,2)PD 设平面BDP的法向量为(,)x y zn，则00BDPDnn，即440220 xyxz 令1x，则1y，2z 于是(1,1,2)n 平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以1cos,|2n pn pnp 由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3 （）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 14 页共 52 页 设直线MC与平面BDP所成角为，则|2 6sin|cos,|9|MCMCMCnnn 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 69 12【解析】(1)面PAD面ABCDAD，面PAD面ABCD，ABAD，AB 面ABCD，AB面PAD，PD 面PAD，ABPD，又PDPA，PD面PAB，(2)取AD中点为O，连结CO，PO，5CDAC，COAD，PAPD，POAD，以O为原点，如图建系易知(0 01)P，(110)B，(010)D，(2 0 0)C，OxyzPABCD 则(111)PB，(011)PD，(2 01)PC，(210)CD ，设n为面PDC的法向量，令00(,1)nxy，011,120n PDnn PC，则PB与面PCD夹角有，11 132sincos,311 134n PBn PBn PB (3)假设存在M点使得BM面PCD，设AMAP，0,My z，由(2)知0,1,0A，0,0,1P，0,1,1AP，1,1,0B，0,1,AMyz 有0,1,AMAPM 1,BM 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页共 52 页 BM面PCD，n为PCD的法向量，0BM n，即102，1=4 综上，存在M点，即当14AMAP时，M点即为所求 13【解析】()连结FC，取FC的中点M，连结,GM HM，因为/GM EF，EF在上底面内，GM不在上底面内，所以/GM上底面，所以/GM平面ABC；又因为/MH BC，BC 平面ABC，MH 平面ABC，所以/MH平面ABC；所以平面/GHM平面ABC，由GH 平面GHM，所以/GH平面ABC ()连结OB，ABBCOBAO，以为O原点，分别以,OAOB OO为zy,x,轴，建立空间直角坐标系 12 32EFFBAC，ABBC 3)(22FOBOBFOO，于是有(2 3,0,0)A，(2 3,0,0)C，(0,2 3,0)B，(0,3,3)F，可得平面FBC中的向量(0,3,3)BF，(2 3,2 3,0)CB,于是得平面FBC的一个法向量为1(3,3,1)n ，又平面ABC的一个法向量为2(0,0,1)n，E F B A C O，O x y z E F B A C G H 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页共 52 页 设二面角FBCA为，则7771cos2121nnnn 二面角FBCA的余弦值为77 14【解析】(1)证明：找到AD中点I，连结FI，矩形OBEF,EF OB G、I是中点，GI是ABD的中位线，GIBD且12GIBD，O是正方形ABCD中心，12OBBD，EFGI且EFGI=四边形EFIG是平行四边形，EGFI FI 面ADF，EG面ADF(2)OEFC正弦值，如图所示建立空间直角坐标系Oxyz IzyxABCDEFGHO 020B，200C，022E，002F，设面CEF的法向量1nxyz，1102020202220n EFxyzyn CFxyzxz ，得：201xyz120 1n，OC 面OEF，面OEF的法向量21 00n，12121226cos33 1nnnnn n，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 17 页共 52 页 21263sin133nn，(3)23AHHF，222 2420205555AHAF，设H xyz，2 242055AHxyz，得：3 25045xyz 3 24255BH，12164755cos212 235BH nBHnBH n，15【解析】（）连接BD，设BDACG=，连接,EG FG EF 在菱形ABCD中，不妨设1GB=，由120ABC，可得3AGGC=，由BE平面ABCD，ABBC=可知，AEEC=，又AEEC，3EG=，EGAC，在Rt EBG中，可得2BE=，故22DF=在Rt FDG中，可得62FG=在直角梯形BDFE中，由2BD=，2BE=，22DF=，可得3 22EF=，222EGFGEF，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 18 页共 52 页（）如图，以G为坐标原点，分别以,GB GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得A(0，3，0)，E(1,0,2)，F(1,0，22)，C(0，3，0)，AE=（1，3，2），CF=（1，3，22）故3cos,3|AE CFAE CFAE CF 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为33 16【解析】解法一：（）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，1/=2GHABGHAB所以，且，又F是CD中点，1=2DFCD所以，由四边形 ABCD 是矩形得，ABCD，=AB CD，所以GHDF，且=GH DF 从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH，又DHADEGFADE平面，平面，所以GF平面ADE（）如图，在平面BEG内，过点B作BQEC，因为BECEBQBE，所以 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 19 页共 52 页 又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ 以B为原点，分别以,BE BQ BA的方向为 x 轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)因为AB平面BEC，所以A=(B0,0,2)为平面BEC的法向量，设(,)nx y z为平面 AEF 的法向量又(2,0,2)AE，=(2,2,1)AF，由AE0220,220,AF0nxzxyzn，得，取2z=得=(2,1,2)n 从而A42cos,A=,3 23|A|n Bn BnB 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23 解法二：（）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM/AE，又AEADEGMADE平面，平面，所以GM/平面ADE 在矩形 ABCD 中，由,M F分别是AB，CD的中点得/MFAD 又ADADEMFADE平面，平面，所以/MFADE平面 又因为GMMFM=，GM GMFMFGMF平面，平面 所以GMF平面平面ADE，因为GFGMF平面，所以/GFADE平面（）同解法一 17【解析】（）证法一证法一：连接CDDG，设OGFCD，连接OH 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 20 页共 52 页 在三棱台ABCDEF 中，DEAB2，G为AC的中点，可得GCDFGCDF，/，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH 证法二证法二：在三棱台ABCDEF 中，由EFBC2，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得 BEHF，在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB，又HHFGH，所以平面FGH平面ABED，因为BD平面ABED，所以 BD平面FGH（）解法一：设2AB，则1CF，在三棱台ABCDEF 中，G为AC的中点，由GCACDF21，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DGFC，又FC平面ABC，所以 DG平面ABC，在ABC中，由BCAB，45BAC，G是AC中点，所以 GCGBBCAB，因此 GDGCGB,两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyzG，zxyHGFEDBCA 所以)100(),0,20()00,2()000(，DCBG 可得)0,20()0,2222(，FH，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 21 页共 52 页 故)0,20(),0,2222(，GFGH，设),(zyxn 是平面FGH的一个法向量，则 由00n GHn GF 可得020 xyyz 可得 平面FGH的一个法向量)2,1,1(n，因为GB是平面ACFD的一个法向量，2,0,0GB （），所以21cos,2|2 2GB nGB nGBn，所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 解法二：作ACHM 与点M，作GFMN 与点N，连接NH MNHACBDEFG 由FC平面ABC，得FCHM，又CACFC，所以HM平面ACFD，因此NHGF，所以MNH即为所求的角，在BGC中，MHBG，1222MHBG，由GCFGNM，可得GFGMFCMN，从而66MN，由 HM平面ACFD，MN平面ACFD，得 MNHM，因此 3tanMNHMMNH，所以 60MNH，所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 18【解析】（）在图 1 中，因为1ABBC=，2AD=，E是AD的中点，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 22 页共 52 页 BAD=2，所以BEAC 即在图 2 中，BE1OA，BEOC从而BE平面1AOC 又CDBE，所以CD平面1AOC （）由已知，平面1ABE 平面BCDE，又由（）知，BE1OA，BEOC 所以1AOC为二面角1-CA BE的平面角，所以1OC2A 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为111ABAEBCED=，BCED 所以2(,0,0)2B，2(,0,0)3E，12(0,0,)2A，2(0,0)2C 得22BC(,0),22-122A C(0,)22-，CDBE(2,0,0)=-设平面1BCA的法向量1111(,)nx y z=，平面1CDA的法向量2222(,)nxy z=，平面1BCA与平面1CDA夹角为，则11100n BCnAC，得111100 xyyz，取1(1,1,1)n=，22100nCDnAC，得22200 xyz，取2(0,1,1)n，从而1226cos|cos,|332n n，即平面1BCA与平面1CDA夹角的余弦值为63 19【解析】（）连接BD交AC于点O，连结EO 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 23 页共 52 页 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点 又E为PD的中点，所以EOPB EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直 如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，xyzOABCDPE 则(0,3,0),D3 1(0,),22E3 1(0,)22AE 设(,0,0)(0)B mm，则(,3,0),C m(,3,0)ACm 设1(,)x y zn为平面AEC的法向量，则110,0,ACAEnn即30,310,22mxyyz，可取13(,1,3)mn 又2(1,0,0)n为平面DAE的法向量，由题设121cos,2n n，即231342m，解得32m 因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12 三棱锥EACD的体积11313332228V 20【解析】（）证明：四边形ABCD为等腰梯形，且2ABCD，所以ABMA且CDMA，连接1AD 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 24 页共 52 页 1111DCBAABCD为四棱柱，11/DCCD 11DCCD 又M为AB的中点，1AM AMCD/,AMCD 11/DCAM,11DCAM 11DAMC为平行四边形，11/MCAD 又111ADDAMC平面，111ADDAAD平面，111/ADDAAD平面（）方法一：由（）知 平面11DC M平面ABCD=AB 作ABCN，连接ND1 则NCD1即为所求二面角1CABC的平面角 在Rt BNC中，1BC 060NBC 23CN 2211152NDCDCN 在1Rt DCN中，115cos5CND NCD N 方法二：连接,AC MC，由（）知CDAM且CDAM AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意60ABCDAB，所以MBC为正三角形 因此22,3ABBCCA，CACB xzyMA1ABB1D1C1DC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 25 页共 52 页 以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，1CD为z轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11MDC )3,23,21(),0,0,1(111MDDC 设平面MDC11的法向量为),(111zyxn 03232101111zyxx )1,2,0(1n 显然平面ABCD的法向量为)0,0,1(2n 5551,cos212121nnnnnn 显然二面角为锐角，所以平面MDC11和平面ABCD所成角的余弦值为55 113352cos.515152NCDCND N 21【解析】（）（方法一）,BCBD DFFC，且120CBD，BCF为RT三角形，FCBF 同理，,BCBA AEEC，且120ABC，BCE为RT三角形 BEEC，BCFBCE，过E作EOBC，垂足为O，连接OF，可证出EOCFOC，所以2EOCFOC，即FOBC 从而证出BC 面EOF，又EF 面EOF，所以EFBC 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 26 页共 52 页 BCDAFEO（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空问直角坐标系易得0,0,0B，(0,1,3)A，xyzBCDAFE(3,1,0)D，(0,2,0)C因而13(0,)22E，3 1(,0)22F，33(,0,)22EF，(0,2,0)BC，因此0EF BC，EFBC，所以EFBC（）如上图中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n设平面BEF的法向量 2(,)x y zn，又3 1(,0)22BF，13(0,)22BE，由2200BFBEnn得其中2(0,3,1)n 设二面角EBFC大小为，且由题意知为锐角 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 27 页共 52 页 212121coscos,5 1n nn nn n，因此22 5sin55，即所求二面角的正弦值为2 55 22【解析】（）连接1BC，交1BCO于点，连接 AO，因为侧面11BBC C为菱形，所以1111,BCBCOBCBC且 为及的中点.又11,.ABBCBCABO所以平面 1AOABOBCAO由于平面，故 又11,=.BOCOAC AB故 （）因为11,.ACABOBCAOCO且 为的中点，所以 又因为,ABBCBOABOC 所以，1,OAOBOA OB OB故从而两两相互垂直，以OOBxOB为坐标原点，的方向为 轴正方向，为单位长，Oxyz建立如图所示的空间直角坐标系 zxyO 因为1160,.CBBCBBABBC所以为等边三角形又，则 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 28 页共 52 页 111111333(0 0),(10 0),(0,0),(0,0).3333333(0,),(1,0,),(1,0),3333ABBCABABABBCBC ，11111(,)33=00,330,30.3(1,3,3).x y zAAByzABABxz设是平面的法向量，则，即所以可取nnnn 11111110,0,(1,3,3).ABABCBCm设 是平面的法向量，则同理可取mmm 则1cos,.7n mn mn m 1111.7AABC所以二面角的余弦值为 23【解析】：（）因为ABD 平面BCD,平面ABD平面,BCDBD AB平面,ABD ABBD所以AB 平面.BCD又CD 平面,BCD所以ABCD （）过点B在平面BCD内作BEBD,如图 由（）知AB 平面,BCDBE 平面,BCD所以,ABBE ABBD以B为坐标原点,分别以,BE BD BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系 zyxBDCAM 依题意,得1 1(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,)2 2BCDAM 则1 1(1,1,0),(0,),(0,1,1)2 2BCBMAD 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 29 页共 52 页 设平面MBC的法向量000(,)nxy z 则00n BCn BM即00000102xyyz 取01,z 得平面MBC的一个法向量(1,1,1)n 设直线AD与平面MBC所成角为,则6sincos,3n ADn ADn AD 即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63 24【解析】（）在直角梯形BCDE中，由1DEBE，2CD 得，2BDBC，由2,2ACAB，则222ABACBC，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC 平面BCDE，所以ACDE，又DEDC，从而DE 平面ACD（）方法一：作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连结BG，由（）知，DEAD，则FGAD，所以BFG是二面角EADB的平面角，在直角梯形BCDE中，由222CDBDBC，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD 平面ABC，从而，BDAB，由于AC 平面BCDE，得：ACCD，在Rt ACD中，由2CD，2AC，得6AD，在Rt AED中，1DE，6AD，得7AE，一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 30 页共 52 页 在Rt ABD中，2BD，2AB，6AD，得2 33BF，23AFAD，从而23GF，在,ABEABG中，利用余弦定