专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何.pdf

一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页共 16 页 专题八 立体几何 第二十四讲 空间向量与立体几何 解答题解答题 1（2018 全国卷）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值 PFEDCBA 2（2018 北京）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，D，E，F，G 分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，5ABBC，12ACAA C1B1A1GFEDCBA(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角1BCDC的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交 3(2018 全国卷)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，PAPBPC 4AC，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页共 16 页(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 OMPCBA 4（2018 全国卷）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 MDCBA 5(2018 天津)如图，ADBC且2ADBC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且2CDFG，DG平面ABCD，2DADCDG(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长 NABCDEFGM 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页共 16 页 6（2018 江苏）如图，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点P，Q分别为11A B，BC的中点 ABCQPA1C1B1(1)求异面直线BP与1AC所成角的余弦值；(2)求直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值 7（2017 新课标）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP DCBAP(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值 8（2017 新课标）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形ABCD，12ABBCAD，90BADABC，E是PD的中点 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 4 页共 16 页 EMDCBAP(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值 9（2017 新课标）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD ABCDE(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值 10（2017 天津）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90BAC点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB （）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页共 16 页 AH的长 11（2017 北京）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，6PAPD，4AB （）求证：M为PB的中点；（）求二面角BPDA的大小；（）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值 12（2016 年北京）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD.（1）求证：PD 平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 6 页共 16 页 13（2016 年山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=12AC=2 3，ABBC求二面角FBCA的余弦值.14（2016 年天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，2ABBE（）求证：EG平面ADF；（）求二面角OEFC的正弦值；（）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.ECDAFBOHG 15（2015 新课标）如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，,E F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 7 页共 16 页 16（2015 福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，2ABBEEC，G，F分别是线段BE，DC的中点 （）求证：GF平面ADE；（）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值 17(2015 山东)如图，在三棱台DEFABC中，2ABDE，,G H分别为,AC BC的中点 （）求证：BC/平面FGH；（）若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小 18（2015 陕西）如图1，在直角梯形CD中，/D C，2D，1C，2D，是D的中点，O是AC与BE的交点 将沿BE折起到1ABE的位置，如图2 （）证明：CD 平面1AOC；（）若平面1ABE平面BCDE，求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页共 16 页 19（2014 新课标 2）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设二面角DAEC为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥EACD的体积 20（2014 山东）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是等腰梯形，60,DAB22ABCD，M是线段AB的中点 MA1ABB1D1C1DC（）求证：111/CMAADD平面；（）若1CD垂直于平面ABCD且1=3CD，求平 面11C DM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值 21（2014 辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F 分别为 AC、DC 的中点（）求证：EFBC；（）求二面角EBFC的正弦值 ADCBFE 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页共 16 页 22(2014 新课标 1)如图三棱锥111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC ()证明：1ACAB；（）若1ACAB，o160CBB，ABBC，求二面角111AABC的余弦值 23（2014 福建）在平行四边形ABCD中，1ABBDCD，,ABBD CDBD,将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图 BDCAM（）求证：AB CD；（）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 24（2014 浙江）如图，在四棱锥BCDEA中，平面ABC平面BCDE，90CDEBED，2ABCD，1DEBE，2AC （）证明：DE平面ACD；（）求二面角EADB的大小 ADEBC 25（2014 广东）如图 4，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，030DPC，AFPC于点F，/FECD，交PD于点E 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页共 16 页（）证明：CFADF平面（）求二面角DAFE的余弦值 26(2014 湖南)如图，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，ACBDO，11111ACBDO，四边形1111ACC ABDDB和四边形均为矩形(1)证明：1;OOABCD底面(2)若1160,CBACOBD求二面角的余弦值 O1OB1BCDAA1C1D1 27（2014 陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC 的平面分别交四面体的棱CADCBD，于点HGF，俯视图左视图主视图122ABCDFGHE（）证明：四边形EFGH是矩形；（）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值 28（2013 新课标）如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，1BAA=60 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 11 页共 16 页 （）证明1ABAC；（）若平面ABC平面11AA B B，ABCB，求直线1AC与平面11BBCC所成角的正弦值 29（2013 新课标）如图，直三棱柱111ABCABC中，,D E分别是1,AB BB的中点，122AAACCBAB EDCBAA1B1C1（）证明：1BC/平面1ACD；（）求二面角1DACE的正弦值 30（2013 广东）如图 1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC,D E分别是,AC AB上的点,2CDBE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起，得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE,其中3A O.（）证明:A O平面BCDE；一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 12 页共 16 页（）求二面角ACDB的平面角的余弦值.31(2013 陕西)如图,四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是正方形，O为底 面中心,1AO平面ABCD，12ABAA.OD1B1C1DACBA1（）证明：1AC平面11BB D D；（）求平面1OCB与平面11BB D D的夹角的大小 32（2013 湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点 （）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（）设（I）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQCP记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC 的大小为，求证：sinsinsin 33(2013 天津)如图，四棱柱1111ABCDABCD中，侧棱1A A底面ABCD，ABDC，ABAD，1ADCD，12AAAB，E为棱1AA的中点 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页共 16 页 BCC1B1DD1A1AE（）证明11BCCE；（）求二面角11BCEC的正弦值；（）设点M在线段1C E上；且直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值为26，求线段AM的长 34（2012 新课标）如图，直三棱柱111CBAABC 中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC 1 （）证明：BCDC 1；（）求二面角11CBDA的大小 35（2012 福建）如图，在长方体1111ABCDABCD中11AAAD，E为CD中点.（）求证：11BEAD；ACB1B1AD1C一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 14 页共 16 页（）在棱1AA上是否存在一点P,使得DP平面1B AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由 （）若二面角11AB EA的大小为 30，求AB的长 36（2012 浙江）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2 3的菱形，120BAD，且PA平面ABCD，2 6PA，M，N分别为PB，PD的中点 （）证明：/MN平面ABCD；（）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值 37（2011 新课标）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD 底面ABCD （）证明：PABD；（）若PDAD，求二面角APBC的余弦值 38（2011 安徽）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，1,2,OAODOAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形（）证明直线BCEF；（）求棱锥FOBED的体积 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页共 16 页 39（2011 江苏）如图，在四棱锥ABCDP 中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（）直线EF平面PCD；（）平面BEF平面PAD 40(2010 广东)如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足5FBFDa，6EFa （）证明：EBFD；（）已知点,Q R为线段,FE FB上的点，23FQFE，23FRFB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值 41（2010 新课标）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页共 16 页 （）证明：PEBC；（）若60APBADB，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 42（2010 天津）如图，在长方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱BC,1CC 上的点，2CFABCE,1:1:2:4AB AD AA （）求异面直线EF与1A D所成角的余弦值；（）证明AF平面1A ED；（）求二面角1AEDF的正弦值