2015年五年级学而思学而思杯解析.pdf

2015 年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）年北京市五年级综合能力测评（学而思杯）考试时间：90 分钟满分：150 分第卷（填空题共第卷（填空题共 90 分）分）一、填空题一、填空题 A（每题（每题 5 分，共分，共 50 分）分）1.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年，2015 年 9 月 3 日在天安门广场举行了盛大的阅兵式 整个阅兵式上参加的方（梯）队有：2 个抗战老兵乘车方队，11 个徒步方队，27 个装备方队和 10 个空中方队，此外还首次邀请了一些外国军队方队代表参加，已知整个阅兵式上所有受阅方队为 67 个，那么共有_个外国军队方队参加检阅【考点】应用题，基础应用题【难度】【答案】17【分析】67(2112710)17（个）2.君君、嘉嘉、旭旭、宇宇四位同学这次考试的平均分是 70 分，如果去掉宇宇的成绩，则其他三位同学的平均分是 75 分，那么宇宇这次考了_分【考点】应用题，平均数【难度】【答案】55【分析】四个人的总分为704280分，去掉宇宇后三个人的总分为753225分，所以宇宇这次考的分数为28022555分3.把 定义为一种运算符号，其意义为：ba ba，则2 13 16 1 _【考点】计算，定义新运算【难度】【答案】1【分析】1112 13 16 11236 4.如下图，正方形 ABCD 的面积是 16，点 F 是 BC 上任意一点，点 E 是 DF 中点，则阴影部分面积为_【考点】几何，一半模型【难度】【答案】4【分析】三角形 ADF 的面积是正方形 ABCD 面积的一半，所以11682ADFS，又因为 E是 DF 的中点，所以1=2ADFSS阴影=18=425.今天是 2015 年 10 月 6 日星期 2，如果要使九位数20151062恰好是 9 的倍数，那么内的数应该填_【考点】数论，整除特征【难度】【答案】1【分析】设填入 a，则九位数20151062a的数字和是215162=17aa 9 20151062917=1aaa6.某幼儿园有三个小班，一班有 6 个小朋友，二班有 9 个小朋友，三班有 10 个小朋友老师给每个班都买了相同数量的苹果，平均分给班里的小朋友，发现每个班的苹果都恰好够分那么老师给每个班买的苹果数至少是_个【考点】数论，最小公倍数【难度】【答案】90【分析】每个班里的苹果数都恰好够分，说明这个苹果数分别是 6,9,10 的倍数，所以至少是6,9,1090个7.数一数，下图中一共有_个三角形【考点】计数，几何计数【难度】【答案】11【分析】可以分为几类：由一块组成：6 个；由两块组成：2 个；由三块组成：2 个；由六块组成：1 个一共有622111 个三角形8.一个三角形三条边的长度都是整数，如果它的周长是 16，那么，这三条边乘积的最大值是_【考点】组合，最值【难度】【答案】150【分析】设三条边分别为 a、b、c，则有16abc，由和一定差小积大可知，当 a、b、c 分别为 5、5、6 时，5 56150abc 最大9.老师组织五年级同学去图书馆搬书，第一次搬了全部书的25，第二次搬了全部书的37还多 10 本，两次搬完后还剩下 50 本书没有搬那么一共有_本书要搬【考点】应用题，分数应用题【难度】【答案】350【分析】量率对应：23(1050)(1)35057本10.掷一大一小两个骰子（骰子是一种正方体形状的玩具，有 6 个面，每个面上的点数分别是 1、2、3、4、5、6），每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况有_种【考点】计数，枚举法【难度】【答案】15【分析】两个骰子每次掷出的点数和在 212 之间，其间的质数有 2,3,5,7,11，分别枚举得到：21 1 312=21 514233241 7162534435261 115665所以每次掷出的点数之和恰好为质数的的情况共有 15 种二、填空题二、填空题 B（每题（每题 8 分，共分，共 40 分）分）11.请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是_51250 【考点】组合，乘法数字谜【难度】【答案】30975【分析】根据题意：0e，2 52,5,1abcdfacd；1109bb 5 1 25 0 a b cdef 2 5 1 0 5 1 25 0 bb 2 9 5 1 0 5 1 47 5 2 9 5 3 0 97 5 12.如果一个五位数能被 9 整除，且其各个数位上的数字乘积是质数，那么，满足条件的最大五位数和最小五位数之和是_【考点】数论，质合与整除【难度】【答案】62226【分析】一个五位数的各个数位上的数字乘积是质数，根据质数的定义可知，这五个数位上只能是 4 个 1 和 1 个质数；又因为这个五位数能被 9 整除，所以这个质数只能是 5则这个五位数的最大值为 51111，最小值为 11115，最大值与最小值之和为 6222613.从 120 这 20 个数中随机选出 2 个不同的数，并且使这两个数的乘积是偶数，那么，一共有_种取数的方法【考点】计数，排列组合【难度】【答案】145【分析】两个数的乘积是偶数有两种情况：奇数偶数，偶数偶数奇数偶数：111010100CC种偶数偶数：21045C种所以一共有10045145种14.如下图，在长方形 ABCD 中，30AB，阴影部分面积是 120，那么，CF _【考点】几何，等积变形【难度】【答案】8【分析】连接 AC，因为ABDE，所以由等积变形得：BCEACESS，两个三角形有共同部分三角形 FCE，所以120BCEFCEACEFCEACFBEFSSSSSS，302120ACFSCF，所以8CF 15.甲、乙两人同时从 A 地出发开车前往 B 地初始时，甲的速度是乙的 1.2 倍在距中点还有 20 千米的 C 地设有一处补给站，甲到达补给站时会休息一段时间，并且在甲刚开始休息和刚结束休息这两个时刻，甲乙两人之间的距离刚好是一样的（乙到达 C 处时不休息）如果甲到达 C 地后速度会提升三分之一，乙到达 C 地后速度会提升二分之一，结果甲乙两人同时到达 B 地那么，A、B 两地的距离是_千米【考点】行程，方程法解行程【难度】【答案】88【分析】可以设 AB 之间的距离为 2S，初始时甲的速度为 12，则乙的速度为 10；过了 C 地之后甲的速度提升为1121=163（），乙的速度提升为1101=152（）因为甲乙两人同时到达 B 地，所以两人所用时间相同乙不休息，全程开车用的时间为:20201015SS；甲休息了一段时间，所以甲全程时间分为开车时间和休息时间，其中开车的时间为20201216SS；休息时间较为复杂，因为甲乙初始的速度比为6:5，所以甲乙的路程比也为6:5 当甲到达 C 地开始休息时,甲、乙之间距离为1(20)6S；当甲结束休息时，甲、乙之间距离仍然为1(20)6S 所以甲休息的时间为11(20)(20)661015SS根据甲乙所用时间相等可列方程：20201216SS11(20)(20)661015SS20201015SS，解得：44S,所以 AB 之间的距离为24488千米,第卷（解答题共第卷（解答题共 60 分）分）三、解答题：（请将解答过程写在答题纸上，试卷作答无效）三、解答题：（请将解答过程写在答题纸上，试卷作答无效）16.计算：（每题 4 分，共 16 分）（1）12233344445555666778【考点】整数计算，凑整【难度】【答案】11106【分析】原式=18227733366644445555（）（）（）（）=9999999999=101001000100004=11106（2）3511273164474712【考点】分数混合运算，提取公因数【难度】【答案】24【分析】原式31211212=364474771231=364744（）12=147=24（3）3(5)177(2)xx【考点】解方程，一元一次方程【难度】【答案】3【分析】去括号：31517714xx移项：14151773xx合并同类项：124x系数化 1：3x（4）(32):3(92):5xx【考点】解方程，比例方程【难度】【答案】43或113【分析】内项积等于外项积：5(32)3(92)xx去括号：1510276xx移项：6102715xx合并同类项：1612x系数化 1：43x 17.列方程（组）解应用题（6 分）今年大强的年龄是小强的 4 倍，8 年后大强的年龄比小强年龄的 2 倍还大 2 岁，求今年大强和小强分别是多少岁？【考点】列方程解应用题【难度】【答案】大强 20 岁，小强 5 岁【分析】解：设今年小强的年龄是x岁，则大强的年龄是4x岁根据题意有：482(8)2xx解得：5x 则今年大强年龄为：5420岁答：今年小强是 5 岁，大强是 20 岁18.如下图，三角形 ABC 的面积是 1，且有2BEAE，BFFDDC，G 是 AD 中点请求出：（1）三角形 ADC 的面积（3 分）（2）三角形 BFE 的面积（3 分）（3）三角形 EFG 的面积（4 分）【考点】，几何，鸟头模型【难度】【答案】（1）13；（2）29；（3）16【分析】（1）根据等高模型：1111333ADCABCSS；（2）根据鸟头模型：1 223 39BFEBCASBFBESBCBA，所以2221999BFEABCSS（3）2221333ABDABCSS 根据鸟头模型：1 11326AEGABDSAEAGSABAD11216639AEGABDSS1 11224DFGDBASDFDGSDBDA11214436DFGABDSS12111139966EFGS 19.我们发现，6、10、15 是 3 个很神奇的数，它们中任意两个数的最大公因数都不是 1，但 3 个数放在一起，最大公因数就变成了 1（1）请你在 125 之间选出另外 3 个互不相同的数，也满足上述条件（4 分）（2）请你在 1120 之间选出 4 个互不相同的数，满足这 4 个数中任意三个数的最大公因数都不是 1，但这 4 个数放在一起的最大公因数是 1（4 分）（3）在 130 中，挑选出若干个互不相同的数排成一排，并满足：任意相邻两个数的最大公因数不是 1，但任意相邻的三个数的最大公因数都是 1那么，最多可以挑选出多少个数？（4 分）【考点】数论，分解质因数【难度】【答案】见分析【分析】将 6、10、15 分解质因数：623，1025，153 5，发现每个数都是由 2,3,5这三个质因数中的两个组成，即只要三个数的分解质因数形式分别为23，25，35，就可以满足任意两个数的最大公因数都不是 1，但是三个数的最大公因数却是 1 下面按照这个方法来构造即可（1）在 125 之间选取三个数，所以三个不同的质因数可以取 2,3,5 或 2,3,7当三个质因数为 2,3,5 时，三个数的分解质因数形式分别为23，25，35，满足条件的三个数有 8 组，分别为：（6,10,15）（12,10,15）（18,10,15）（24,10,15）（6,20,15）（12,20,15）（18,20,15）（24,20,15）当三个质因数为 2,3,7 时，三个数的分解质因数形式分别为23，27，37，满足条件的三个数有 4 组，分别为：（6,14,21）（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）因为是要选出另外三个互不相同的数，所以含有 6、10、15 的数组都不能取，只能取（12,14,21）（18,14,21）（24,14,21）这三组（2）在 1120 之间选出 4 个互不相同的数，需要 4 个不同质因数，可以取 2,3,5,7，四个数的分解质因数形式分别为235，237，257，357，满足条件的四个互不相同的数有 8 组，分别是：（30,42,70,105）（60,42,70,105）（90,42,70,105）（120,42,70,105）（30,84,70,105）（60,84,70,105）（90,84,70,105）（120,84,70,105）（3）根据前面的思路，要想满足条件，这一排数除了前后两端的两个数，其他所有数都应该至少含有 2 个质因数在 130 中有 6，10，12，14，15，18，20，21，22，24，26，28，30又因为不能有三个相邻的数都是偶数，所以要想最多中间应该多排奇数，上面的数中只有 15 和 21 是奇数，所以两个都选且要隔在中间以保证没有三个连续偶数，排列情况如下：_,_,15，_,_,21_,_但其实还可以排的更多，因为这一排数的两端都可以各自放一个质数，同样可以满足条件，所以最多的情况是可以挑选出 10 个数给出一组满足条件的构造如下：11，22，12，15，10，14，21，6，28，7四、阅读材料并回答下列问题（每小题四、阅读材料并回答下列问题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分）20.如果一个数列的第 n 项na与其项数 n 之间的关系可用式子来表示，这个式子就称为该数列的通项公式通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；通项公式以数列的项数 n 为唯一变量；并非每个数列都存在通项公式如果一个数列的第 n 项na与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式例如：对于数列 1，3，5，7，9，11它的通项公式是21nan它的递推公式是12nnaa（其中的 n 都表示项数）根据上述材料：（1）请判断下列公式是通项公式还是递推公式（4 分，每空 2 分）nan是_公式12nnnaaa是_公式（2）请根据下面的通项公式，写出这个数列的第 2015 项（4 分）21nann（3）请根据下面的递推公式，分别求出这个数列的第 2、3、4、6 项（4 分，每空 1 分）11a，11nnaan2a _，3a _，4a _，6a _（4）请写出下面这个数列的通项公式和递推公式（4 分）2、5、10、17、26、37、50、65、82、101【考点】阅读材料【难度】【答案】（1）通项公式；递推公式（2）4062239（3）22a，34a，47a，616a（4）通项公式：21nan；递推公式：121nnaan【分析】（1）通项公式；递推公式（2）22201512015201514062239nanna 【分析】（3）21211212aa 32312314aa 43414417aa 545175111aa 6561116116aa （4）通项公式：21nan；递推公式：121nnaan