2020年高考数学一轮(江苏理) 第7章 7.4 基本不等式及其应用.docx

§7.4　基本不等式及其应用 考情考向分析　主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档． 1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 概念方法微思考 1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y＝x＋的最小值是2吗？ 提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　) (2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　) (3)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　) (4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　) (5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P88T4]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________． 答案　81 解析　∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 3．[P89例1]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______ m2. 答案　25 解析　设矩形的一边为x m， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三　易错自纠 4．“x>0”是“x＋≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　充要 解析　当x>0时，x＋≥2 ＝2(当且仅当x＝1时等号成立)． 因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件． 5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________. 答案　3 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. 6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是________． 答案　5 解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5， 所以4x＋3y＝(4x＋3y)· ＝ ≥(4＋9＋2)＝5， 当且仅当＝，即y＝2x＝1时，“＝”成立， 故4x＋3y的最小值为5. 题型一　利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法 例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案　 解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． (2)函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案　2＋2 解析　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． (3)函数y＝的最大值为________． 答案　 解析　y＝，当x－1＝0时，y＝0， 当x－1>0时，y＝≤＝， ∴当且仅当＝等号成立， 即x＝5时，ymax＝. 命题点2　常数代换法 例2 (1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． 答案　3＋2 解析　由x>0，y>0，得(x＋y)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当y＝x时等号成立， 又＋＝1，则x＋y≥3＋2， 所以x＋y的最小值为3＋2. (2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案　 解析　正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4， ∴＋＝[(x＋2)＋(y＋1)] ＝ ≥＝， 当且仅当x＝2y＝时，min＝. 命题点3　消元法 例3 已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________． 答案　 解析　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4， ∴a＋b≥a2＋a＋4. 又∵a，b>0，∴≤， ∴－≥－， ∴u＝＝3－≥3－ ＝3－≥3－＝， 当且仅当a＝2，b＝8时，两等号同时成立，即取得最小值． 思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法． 跟踪训练1 (1)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是________． 答案　3 解析　∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2， ∴a＋b＋c＋1＝3， 且a＋1>0，b＋c>0. ∴＋＝·(a＋1＋b＋c)· ＝≥(5＋4)＝3. 当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立． (2)(2018·苏北四市考试)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则＋的最小值是________． 答案　 解析　由已知可得＝1， ∴＋ ＝× ＝≥(5＋4)＝， 当且仅当|x－2y|＝|2x＋y|时取等号． (3)若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 答案　8 解析　由已知得，x＝， 又0<x<，可得y>3， ∴＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6 ≥2＋6＝8， 当且仅当y＝4时，min＝8. 题型二　基本不等式的实际应用 例4 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得当0<x<80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250 ＝－x2＋40x－250； 当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250 ＝1 200－. ∴L(x)＝ (2)当0<x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元； 当x≥80时，L(x)＝1 200－ ≤1 200－2＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练2 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_______． 答案　30 解析　一年的总运费为6×＝(万元)． 一年的总存储费用为4x万元． 总运费与总存储费用的和为万元． 因为＋4x≥2 ＝240， 当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号， 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 题型三　基本不等式的综合应用 命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例5 在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为________． 答案　3 解析　∵＝＋ ＝＋ ＝＋＝＋， ∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝3， 当且仅当m＝n＝1时等号成立． 命题点2　求参数值或取值范围 例6 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 答案　4 解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9， ∵1＋a＋＋≥a＋2＋1， 当且仅当y＝x时，等号成立， ∴a＋2＋1≥9， ∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4. 思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． 跟踪训练3 (1)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为____． 答案　 解析　由△ABC的面积为2， 所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8， 在△ABC中，由正弦定理得 ＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝＋－ ≥2－＝2－＝， 当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立． (2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是________． 答案　9 解析　 由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b， 因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2， 所以f′(1)＝2a＋b＝2， 所以＝＋＝(2a＋b) ＝≥ ＝(10＋8)＝9， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立， 所以的最小值为9. 利用基本不等式求解实际问题 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题． 例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2， ∴x＝3－， 每万件产品的销售价格为1.5×(万元)， ∴2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m ＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0)． (2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21， 当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时， ymax＝21(万元)． 故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 素养提升　利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 1．函数f(x)＝的最小值为________． 答案　4 解析　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4， 当且仅当x＝±2时，等号成立． 2．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________． 答案　9 解析　由题意知，正数a，b满足a＋b＝1， 则＋＝(a＋b) ＝4＋1＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立， 所以＋的最小值为9. 3．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为________． 答案　4 解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4. 4．(2018·扬州模拟)已知正实数x，y满足x＋y＝xy，则＋的最小值为________． 答案　5＋2 解析　∵正实数x，y满足x＋y＝xy，即＋＝1， ∴1－＋1－＝1， 又＋＝＋， ∴＋＝ ＝5＋＋≥5＋2， 等号成立的条件为32＝22. 5．(2018·江苏省无锡市第一中学期末)在等差数列{an}中，an>0，a4＝5，则＋的最小值为____． 答案　 解析　由题意得a2＋a6＝2a4＝10， 所以＋＝(a2＋a6)× ＝≥(10＋2)＝. 当且仅当a6＝3a2＝时等号成立． 故＋的最小值为. 6．已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是________． 答案　 解析　由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝ . 7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________． 答案　6 解析　由xy＋x－y－10＝0，得x＝＝＋1， ∴x＋y＝＋1＋y≥2 ＝6， 当且仅当＝1＋y，即y＝2时，等号成立． 8．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________． 答案　 解析　由题意得b2＋c2－a2＝bc， ∴2bccos A＝bc，∴cos A＝， 又A∈(0，π)，∴A＝. ∵△ABC的面积为， ∴bcsin A＝，∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－bc， ∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c时，等号成立)， ∴a≥. 9．(2018·扬州模拟)已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为_______． 答案　 解析　方法一　因为5x2＋4xy－y2＝1， 所以y2－5x2＋1＝4xy≤x2＋4y2(当且仅当x＝2y时，取“＝”)， 即6x2＋3y2≥1， 所以2x2＋y2≥， 所以12x2＋8xy－y2＝12x2＋2(y2－5x2＋1)－y2 ＝2x2＋y2＋2≥＋2＝. 方法二　因为5x2＋4xy－y2＝1， 则12x2＋8xy－y2＝ ＝. 令t＝，则t∈(0，＋∞)， 设f(t)＝＝2＋， 则f′(t)＝＝， 令f′(t)＝0，得t＝2， 则f(t)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f(t)min＝f(2)＝. 10．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________． 答案　2 解析　由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab， 代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab， 两边同除以(ab)2得2＝＋ ＝4≥4·2＝8， 当且仅当ab＝1时取等号． 所以＋≥2， 即＋的最小值为2. 11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 解　(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得 此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴＋＝· ＝≥ ＝，当且仅当＝时，等号成立． 由解得 ∴＋的最小值为. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2. (1)试用x，y表示S； (2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？ 解　(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a， 则y＝a＋b＋3＝3a＋3， 所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x>3，y>3)． (2)方法一　S＝1 808－3x－× ＝1 808－≤1 808－2 ＝1 808－240＝1 568， 当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45， 所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值． 方法二　设S＝f(x)＝1 808－(x>3)， 则f′(x)＝－3＝， 令f′(x)＝0，则x＝40， 当0<x<40时，f′(x)>0； 当x>40时，f′(x)<0. 所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC面积的最大值为________． 答案　4 解析　∵＝， ∴(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C ＝sin(B＋C)＝sin A. 又sin A≠0，∴cos B＝. ∵0<B<π，∴B＝. 由余弦定理得b2＝16＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， ∴ac≤16，当且仅当a＝c时等号成立． ∴S△ABC＝acsin ≤×16×＝4. 故△ABC面积的最大值为4. 14．已知P为椭圆＋＝1上一个动点，过点P作圆(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则·的取值范围为________． 答案　 解析　如图，由题意设∠APB＝2θ， 则PA＝PB＝， ∴·＝||||cos 2θ ＝·cos 2θ ＝·cos 2θ， 设cos 2θ＝t，则t<1,1－t>0， ∴·＝＝(1－t)＋－3 ≥2－3＝2－3， 当且仅当1－t＝，即t＝1－时等号成立， 此时cos 2θ＝1－. 又当点P在椭圆的右顶点时，sin θ＝， ∴cos 2θ＝1－2sin2 θ＝， 此时·最大，且最大值为×＝. ∴·的取值范围是. 15．已知曲线C：y2＝2x＋a在点Pn(n，)(a>0，n∈N)处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴、y轴分别于点An(xn,0)，Bn(0，yn)，且|x0|＝|y0|. 给出以下结论： ①a＝1； ②当n∈N*时，yn的最小值为； ③当n∈N*时，kn>sin； ④当n∈N*时，记数列的前n项和为Sn，则Sn<(－1)． 其中，正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号) 答案　①②④ 解析　令y＝， 所以y′＝×2＝， kn＝， 所以ln：y－＝ (x－n)， 所以x0＝－a，y0＝，∴a＝∴a＝1，①对； 令t＝≥， 所以yn＝－＝t－＝t＋， 所以yn≥＋＝，②对； 令f(x)＝x－sin x， 所以f′(x)＝1－cos x<0， 所以f(x)<f(0)＝0，即<sin，③错； 因为kn＝<＝(－)， 所以Sn ＝k1＋k2＋…＋kn<(－1)＋(－)＋…＋(－)＝(－1)，④对． 16．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，求该正三棱柱外接球表面积的最小值． 解　设BC＝a，CC1＝b，则ab＝4， 底面三角形外接圆的半径为r， 则＝2r，∴r＝a. 所以R2＝2＋2＝＋ ≥2 ＝2＝4， 当且仅当a＝b时，等号成立． 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×4＝16π.