2020年高考数学一轮(江苏理) 第6章 6.2 等差数列及其前n项和.docx

§6.2　等差数列及其前n项和 考情考向分析　以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查． 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋j(k，l，m，j∈N*)，则ak＋al＝am＋aj. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 概念方法微思考 1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？ 提示　充要条件． 2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？ 提示　不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数． 3．如何推导等差数列的前n项和公式？ 提示　利用倒序相加法． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P47习题T5]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________. 答案　32 解析　由已知可得 解得　∴S8＝8a1＋d＝32. 3．[P40习题T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 答案　180 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 题组三　易错自纠 4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是________． 答案　 解析　由题意可得即 所以<d≤. 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 答案　8 解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大． 6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面． 答案　20 解析　设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20. 题型一　等差数列基本量的运算 1．(2018·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________. 答案　－10 解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 2．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________. 答案　－ 解析　由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－. 3．已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d＝________. 答案　1 解析　∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15， ∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d， 可得d＝1. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 题型二　等差数列的判定与证明 例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 解　(1)∵an是1与anan＋1的等差中项， ∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝， ∴an＋1－1＝－1＝， ∴＝＝1＋， ∵＝1， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝(n∈N*)． (2)由(1)得＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 跟踪训练1 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. (1)证明　∵an＋1＝， ∴＝，化简得＝2＋， 即－＝2， 又＝1， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解　由(1)知＝2n－1， 所以Sn＝＝n2. ＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝1－ ＝，n∈N*. 题型三　等差数列性质的应用 命题点1　等差数列项的性质 例2 (2018·江苏省南京秦淮中学模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________. 答案　49 解析　因为a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14， 所以S7＝(a1＋a7)＝49. 命题点2　等差数列前n项和的性质 例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________. 答案　42 解析　在等差数列{an}中， S5，S10－S5，S15－S10成等差数列， 即7，14，S15－21成等差数列， 所以7＋(S15－21)＝2×14， 解得S15＝42. (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________. 答案　2 020 解析　由等差数列的性质可得也为等差数列． 设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1， ∴S2 020＝1×2 020＝2 020. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋j＝p＋q(m，j，p，q∈N*)，则am＋aj＝ap＋aq. (2)前n项和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝________. 答案　7 解析　由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7. (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为________． 答案　7 解析　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7. 1．(2018·常州期末)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝4，S9－S6＝27，则S10＝________. 答案　65 解析　因为S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＝27， 所以a8＝9， 即S10＝＝5(a3＋a8)＝65. 2．已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020＝________. 答案　4 040 解析　由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得 S2 017＝×2 017＝×2 017＝2 017a1 009＝2 017， 则a1 009＝1，据此可得 S2 020＝×2 020＝1 010 ＝1 010×4＝4 040. 3．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝________. 答案　0 解析　设公差为d，则＝a1＋d， ∵－＝2，∴d－d＝2， ∴d＝2，∵a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋×2＝0. 4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤． 答案　184 解析　根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 5．(2019·盐城模拟)若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________. 答案　 解析　an＝(an＋1)an＋1， 得an－an＋1＝anan＋1且an≠0， 所以－＝1， 即是以2为首项，1为公差的等差数列， ＝n＋1，从而＝. 6．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论： ①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号) 答案　①③ 解析　a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d， 所以a1＝－9d， a10＝a1＋9d＝0，①正确； 由于d的符号未知，所以S10不一定最大，②错误； S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d， 所以S7＝S12，③正确； S20＝20a1＋190d＝10d，④错误． 所以正确的是①③. 7．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________. 答案　0 解析　根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π， 2a1＋2a13＝4a7＝2π， 所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13 ＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0. 8．(2018·江苏省盐城市东台中学检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且数列{}也为等差数列，则a10＝________. 答案　19 解析　因为数列{an}是等差数列，设公差为d， 则Sn＝n＋＝n2＋n， 所以＝ ， 又{}也为等差数列， 所以1－＝0，所以d＝2. 所以a10＝1＋(10－1)×2＝19. 9．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________. 答案　 解析　在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10， 因此＝＝＝. 10．已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝________. 答案　(n2－3n＋3)2 解析　数列{－}是公差为2的等差数列， 且a1＝1，a3＝9， ∴－＝(－1)＋2(n－1)， －＝(－1)＋2， ∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1. ∴－＝2n－2， ∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1 ＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3. ∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立． ∴an＝(n2－3n＋3)2. 11．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵－ ＝＝， ∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列． (2)解　由(1)及b1＝＝＝1， 知bn＝n＋， ∴an－1＝，∴an＝(n∈N*)． 12．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解　(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N*)． (2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝2an且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10＝________. 答案　90 解析　设{an}公差为d， ＝＝＝2d＝＝4， ∴d＝2， 又b1＋b3＝＋＝＋＝17， 得＝1，a1＝0， ∴S10＝10a1＋d＝×2＝90. 14．设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan ＝k，则数列的前7项和是________． 答案　 解析　等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π， 可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π， tan antan an＋1＝－1 ＝－1， 又tan d＝tan ＝k， 则数列{tan antan an＋1}的前7项和为(tan a8－tan a7＋tan a7－tan a6＋…＋tan a2－tan a1)－7 ＝(tan a8－tan a1)－7＝－7 ＝－7 ＝－7 ＝－7＝. 15．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝________. 答案　40 解析　设an＝2＋(n－1)d， 所以＝ ＝， 由于为等差数列， 所以其通项是一个关于n的一次函数， 所以(d－2)2＝0，∴d＝2. 所以a20＝2＋(20－1)×2＝40. 16．记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围． 解　由题意得2＝， 所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1 ＝2n－2(n≥2，n∈N*)， 两式相减整理得an＝(n≥2，n∈N*)． 当n＝1时，a1＝2，符合上式， 所以an＝(n∈N*)． 又由题意得3＝， 所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n， 所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)， 两式相减整理得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)． 当n＝1时，b1＝3，符合上式， 所以bn＝32－n(n∈N*)． 所以cn＝2n－1＋k(2－n)＝(2－k)n＋2k－1， 易知数列{cn}是等差数列． 因为对任意的正整数n都有Sn≤S6， 所以解得≤k≤.