2020年高考数学一轮(江苏理) 第3章 3.1 导数的概念及运算.docx

考试内容 等级要求 导数的概念 A 导数的几何意义 B 导数的运算 B 利用导数研究函数的单调性与极值 B 导数在实际问题中的应用 B §3.1　导数的概念及运算 考情考向分析　导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. (2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 概念方法微思考 1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示　|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示　不一定． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　) (3)(2x)′＝x·2x－1.(　×　) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　×　) 题组二　教材改编 2．[P26T2]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝ . 答案　2e 解析　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 3．[P26T3]曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为 ． 答案　2x－y＋1＝0 解析　∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2. ∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三　易错自纠 4．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝ . 答案　－ 解析　因为f′(x)＝－－2sin 2x， 所以f′(0)＝－. 5．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝ . 答案　－ 解析　因为f(x)＝f′sin x＋cos x， 所以f′(x)＝f′cos x－sin x， 所以f′＝f′cos －sin ， 即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x， f′(x)＝－cos x－sin x. 故f′＝－cos －sin ＝－. 6．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ． 答案　1 解析　∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 即y＝(a－1)x＋1.故l在y轴上的截距为1. 题型一　导数的计算 1．已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝ . 答案　－cos x 解析　因为y＝sin ＝－sin x， 所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. 2．已知f(x)＝ln ，则f′(x)＝ . 答案　 解析　y′＝′＝′ ＝·＝. 3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ . 答案　1 解析　f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x， 由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ . 答案　－4 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例1 (1)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ． 答案　1 解析　由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－. ∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1. 由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1. (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ． 答案　x－y－1＝0 解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由解得x0＝1，y0＝0. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 命题点2　求参数的值 例2 (1)(2018·常州模拟)已知函数f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为 ． 答案　 解析　设切点坐标为(x0，bx0＋ln x0)， 因为f′(x)＝b＋， 所以k＝b＋， 则切线方程为y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)． 因为切线过坐标原点， 所以－(bx0＋ln x0)＝(0－x0)， 即ln x0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝＝. (2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ . 答案　－2 解析　∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m， 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0， ∴m＝－2. 命题点3　导数与函数图象 例3 (1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是 ． 答案　x－y－2＝0 解析　由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0. (2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ . 答案　0 解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－. ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由题图可知f(3)＝1， ∴g′(3)＝1＋3×＝0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可． (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 跟踪训练 (1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是 ． 答案　y＝0或4x＋y＋4＝0 解析　设切点坐标为(x0，x)， ∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)， ∴x＝2x0(x0＋1)， 解得x0＝0或x0＝－2， ∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)， 即y＝0或4x＋y＋4＝0. (2)(2018·南通、泰州模拟)若曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则实数t的值为 ． 答案　e－2 解析　因为y＝f(x)＝xln x，x>0， 所以f′(x)＝ln x＋1，则f′(1)＝1，f′(t)＝ln t＋1. 因为两条切线互相垂直， 所以(ln t＋1)·1＝－1，解得t＝e－2. (3)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ． 答案　(－∞，2) 解析　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线， 即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解． 所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－. 因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)． 1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为 ． 答案　3(x2－a2) 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a) ＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)． 2．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为 ． 答案　(－2,9) 解析　∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)． 3．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝ . 答案　－ 解析　因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋×(－1)＝－. 4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为 ． 答案　e 解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1. 根据题意知，ln x0＋1＝2， 所以ln x0＝1，即x0＝e. 5．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是 ． 答案　2x－y＋1＝0 解析　y′＝cos x＋ex，故切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0. 6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ． 答案　 解析　求导可得y′＝， ∵ex＋e－x＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立， ∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)， 又α∈[0，π)，∴≤α<π. 7．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 ． 答案　 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝， 设切点为(x0，ln x0)，则＝， 切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1， 解得x0＝e，故此切线的斜率为. 8．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝ . 答案　3 解析　∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1， ∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3. 9．(2018·苏北四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy＝上任意一点P到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为 ． 答案　 解析　令y＝，则y′＝－， 又直线x＋y＝0的斜率k＝－. 令－＝－，得x＝±， 即当曲线C的切线与直线l平行时，切点坐标为(，1)或(－，－1)， 此时切点到直线l的距离d＝＝， 即为所求的最小值． 10．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则a＝ . 答案　1－e 解析　因为f′(x)＝ln x＋1， 所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2， 则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e. 由于切线与曲线y＝x2＋a相切， 故y＝x2＋a可联立y＝2x－e， 整理得x2－2x＋a＋e＝0， 所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e. 11.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示． (1)若f(1)＝1，则f(－1)＝ ； (2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为 ．(用“<”连接) 答案　(1)1　(2)h(0)<h(1)<h(－1) 解析　(1)由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝x， g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2， 故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0， 所以f(x)＝x2＋c，g(x)＝x3＋n， 由f(1)＝1，得c＝， 则f(x)＝x2＋，故f(－1)＝1. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n， 则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n， h(1)＝＋c－n，故h(0)<h(1)<h(－1)． 12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)， 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.  13．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝ . 答案　1 解析　依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1. 14．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值． 解　因为f′(x)＝ln x＋1， 所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2， 则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e. 由于切线与曲线y＝x2＋a相切， 故y＝x2＋a可联立y＝2x－e， 得x2－2x＋a＋e＝0， 所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e. 15．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，f(x0)和x0满足的关系是 ． 答案　f(x0)＝5x0 解析　由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x， f″(x)＝－4sin x＋cos x， 由f″(x0)＝0，知4sin x0－cos x0＝0， 所以f(x0)＝5x0. 16．已知函数f(x)＝x－. (1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解　f′(x)＝1＋， 设切点为(x0，y0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)， ∵切线过(0，－3)， ∴－3－＝·(－x0)， 解得x0＝2，∴y0＝， ∴所求切线方程为y－＝(x－2)，即y＝x－3. (2)证明　设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝(x－m)， 即y－＝(x－m)， 令x＝0，得y＝－， 从而切线与直线x＝0的交点为， 令y＝x，得y＝x＝2m， 从而切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)， ∴点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝··|2m|＝6，为定值．