2020年高考数学一轮(江苏理) 第2章 2.2 函数的单调性.docx

§2.2　函数的单调性 考情考向分析　以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题． 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 概念方法微思考 1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示　对∀x1，x2∈D，>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似． 2．写出对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间． 提示　(－∞，－]和[，＋∞)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P40练习T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________． 答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 3．[P54测试T6]若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝________. 答案　10 解析　函数y＝5x2＋mx＋4的图象为开口向上，对称轴是x＝－的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－＝－1， ∴m＝10. 题组三　易错自纠 4．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________． 答案　f(－3)>f(－π) 解析　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0， 可知函数f(x)为增函数， 又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)． 5．函数的单调递减区间为________． 答案　(2，＋∞) 6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________． 答案　－6 解析　由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是， 令－＝3，得a＝－6. 题型一　求函数的单调区间 1．函数的单调递减区间为________． 答案　(1，＋∞) 解析　由2x2－3x＋1>0， 得函数的定义域为∪(1，＋∞)． 令t＝2x2－3x＋1，x∈∪(1，＋∞)． 则， ∵t＝2x2－3x＋1＝22－， ∴t＝2x2－3x＋1的一个单调递增区间为(1，＋∞)． 又是减函数， ∴函数的单调递减区间为(1，＋∞)． 2．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图象如图． 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 3．函数的单调增区间为________． 答案　(－∞，1] 解析　易得函数的定义域为R， 令u＝x2－2x＝(x－1)2－1， 则u在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数． 又y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴的单调增区间为(－∞，1]． 4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________． 答案　[0,1) 解析　由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接． 题型二　判断函数的单调性 命题点1　证明函数单调性 例1 求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 证明　设x1>x2>0，则 ∵x1>x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 引申探究 如何用导数法求解本例？ 解　f′(x)＝ex－， ∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0， ∴f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 命题点2　讨论函数单调性 例2 判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性． 解　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 由－1<x1<x2<1得>0， ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上单调递减； 同理，当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增． 思维升华 证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f(x1)－f(x2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性． 跟踪训练1 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 解　函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1,2]上单调递增． 证明：设1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－<－. 又因为1<a<3， 所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 题型三　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________． 答案　b>a>c 解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ＝f ，且2<<3，所以b>a>c. 命题点2　解函数不等式 例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________． 答案　(－，－2)∪(2，) 解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. 命题点3　求参数的取值范围 例5 (1)(2018·全国Ⅱ改编)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________． 答案　 解析　∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin， ∴当x－∈，即x∈时， y＝sin单调递增， f(x)＝－sin单调递减， ∴是f(x)在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a]⊆，∴a≤，即amax＝. (2)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案　(1,2] 解析　由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2. (3)若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围为__________． 答案　 解析　若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则函数g(x)＝ax2＋x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)>0，符合题意；当a>0时，g(x)图象的对称轴为x＝－<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，且有g(x)>0，符合题意；当a<0时，需满足g(x)图象的对称轴x＝－≥1，且有g(x)>0，解得a≥－，则－≤a<0. 综上，a≥－. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 跟踪训练2 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________． 答案　 解析　对任意x1≠x2，都有>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. (2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不等式的解集为________________． 答案　 解析　由题意知，f ＝－f ＝0， f(x)在(－∞，0)上也单调递增． ∴或， ∴或， 解得0<x<或1<x<3. ∴原不等式的解集为. 1．函数y＝x2－6x＋10在区间(1,3)上是________函数．(填“增”“减”) 答案　减 解析　作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(1,3)上是减函数． 2．函数的单调递增区间为________． 答案　 解析　由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间． 利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为. 3．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f ，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________． 答案　a>b>c 解析　∵f(x)在R上是奇函数， ∴a＝－f ＝f ＝f(log25)． 又f(x)在R上是增函数， 且log25>log24.1>log24＝2>20.8， ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c. 4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________． 答案　 解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. 综上，实数a的取值范围是. 5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________． 答案　(0,1] 解析　f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a≤1. 6．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上单调递增”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　充分不必要 解析　若函数f(x)在R上单调递增， 则需log21≥c＋1，即c≤－1. 由c＝－1能得出c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1， 所以“c＝－1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件． 7．已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是________． 答案　 解析　当x1≠x2时，<0， ∴f(x)是R上的减函数． ∵f(x)＝　∴ ∴0<a≤. 8．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)<f(x＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于x2－2x＋a>x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋(－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a>. 9．若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是________． 答案　[0，＋∞) 解析　因为f(x)＝x2＋|x－a|＋b＝ 由图象知(图略)，若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a≥0. 10．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________． 答案　(－∞，1]∪[4，＋∞) 解析　作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2， 即a≤1或a≥4. 11．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． (1)证明　当a＝－2时，f(x)＝. 设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)解　设1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1.综上所述，0<a≤1. 12．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ (1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． 解　(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1. 由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0， ∴a＝1. 从而f(x)＝x2＋2x＋1. ∴F(x)＝ (2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1， ∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1， 由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6. 即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 13．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________． 答案　(－2,1) 解析　∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0， ∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1. 14．已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2) 解析　二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减， ∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减， ∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x， 即2x<a，∴2x<a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)<a，∴a<－2， ∴实数a的取值范围是(－∞，－2)． 15．已知函数f(x)＝2 020x＋ln(＋x)－2 020－x＋1，则不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为____________． 答案　 解析　由题意知，f(－x)＋f(x)＝2， ∴f(2x－1)＋f(2x)>2可化为f(2x－1)>f(－2x)， 又由题意知函数f(x)在R上单调递增，∴2x－1>－2x，∴x>， ∴原不等式的解集为. 16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1. (1)解不等式0<f(x2－1)<1； (2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由得<x<2或－2<x<－. ∴原不等式的解集为(－2，－)∪(，2)． (2)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数， ∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)＝1， ∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立． 设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1,1]， 需满足即 解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0， 即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．