2020年高考数学一轮(江苏理) 第4章 高考专题突破2 高考中的三角函数与解三角形问题.docx

高考专题突破二　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图象和性质 例1 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值． 解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2sin2x－(1－2sin xcos x) ＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＋－1 ＝2sin＋－1. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1， 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y＝2sin＋－1的图象， 再把得到的图象向左平移个单位长度， 得到y＝2sin x＋－1的图象， 即g(x)＝2sin x＋－1. 所以g＝2sin ＋－1＝. 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解． 跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求： (1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间； (3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心． 解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝5＝5sin， 所以函数的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)． 题型二　解三角形 例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求角A和边长c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解　(1)∵sin A＋cos A＝0， ∴tan A＝－， 又0<A<π，∴A＝， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即28＝4＋c2－2×2c×， 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴16＝28＋4－2×2×2×cos C， ∴cos C＝，∴CD＝＝＝， ∴CD＝BC，∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC ＝×4×2×＝2， ∴S△ABD＝S△ABC＝. 思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 跟踪训练2 在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. (1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 解　(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a， 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. (2)因为a＝7，所以c＝×7＝3. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 72＝b2＋32－2b×3×， 解得b＝8或b＝－5(舍去)． 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6. 题型三　三角函数和解三角形的综合应用 例3 (2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF<BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)． (1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域； (2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值． 解　(1)过点F作FM⊥BE，垂足为M. 在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ， 所以EF＝，ME＝， 故AF＝BM＝EF－EM＝－， 所以f(θ)＝(AF＋BE)×AB ＝××2＝－， 由题意可知，AF<BE，所以θ<， 且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2，FM＝2，θ＝， 所以函数f(θ)＝－的定义域为. (2)由(1)可知， f(θ)＝－＝－ ＝2－ ＝3tan ＋≥2·＝2， 当且仅当3tan ＝时，等号成立， 又θ∈，∈， 故当tan ＝，即＝，θ＝时，四边形ABEF的面积最小， 此时BE＝＝，AF＝－＝， f(θ)＝－＝2. 答　当BE，AF的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2 平方米． 思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响． 跟踪训练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ. (1)当θ＝时，求∠OPQ的大小； (2)当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观察效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值． 解　因为∠AQC＝，所以∠AQO＝. 又OA＝OB＝3，所以OQ＝. 在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ， 设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ. 由正弦定理，得＝， 即＝， 即sin α＝cos(α－θ)， 展开并整理，得tan α＝，其中θ∈. (1)当θ＝时，tan α＝. 因为α∈(0，π)，所以α＝. 答　当θ＝时，∠OPQ＝. (2)设f(θ)＝，θ∈. 设f′(θ)＝＝. 令f′(θ)＝0，得sin θ＝， 记锐角θ0满足sin θ0＝. 列表如下： θ (0，θ0) θ0 f′(θ) ＋ 0 － f(θ) ↗ ↘ 由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值． 因为tan α＝f(θ)>0，且α∈(0，π)， 所以当tan α取最大值时，α也取得最大值． 答　游客在观赏亭P处的观察效果最佳时，sin θ＝. 1．(2018·江苏联考)设函数f(x)＝2tan ·cos2 －2cos2 ＋1. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)在[－π，0]上的最值． 解　(1)f(x)＝2sin cos －cos ＝sin －cos ＝sin －cos ＋sin ＝sin . 由≠＋kπ(k∈Z)， 得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}， 故f(x)的最小正周期为T＝＝4π. (2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－. ∴当－∈， 即x∈时，f(x)单调递减， 当－∈， 即x∈时，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f＝－， 又f(0)＝－，f(－π)＝－， ∴f(x)max＝f(0)＝－. 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点坐标为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(x)<3，求x的取值范围． 解　(1)由题意得A＝6，＝－＝，∴T＝π， ∴＝π，∴ω＝2. ∴f(x)＝6sin(2x＋φ)， 又f(x)过点，∴6sin＝6， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝6sin. (2)6sin<3，即sin<， 在区间中，要使sin<， 则－<2x－<， 所以－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z， 解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z. 所以x的取值范围为. 3．已知点P(，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x)＝·. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)由已知，得＝(，1)，＝(－cos x,1－sin x)， 所以f(x)＝·＝3－cos x＋1－sin x ＝4－2sin， 所以函数f(x)的最小正周期为2π. (2)因为f(A)＝4，所以sin＝0， 又0<A<π，所以<A＋<，A＝. 因为BC＝3， 所以由正弦定理，得AC＝2sin B，AB＝2sin C， 所以△ABC的周长为3＋2sin B＋2sin C ＝3＋2sin B＋2sin ＝3＋2sin. 因为0<B<，所以<B＋<， 所以当B＋＝，即B＝时， △ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2. 4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积． 解　(1)acos C＋asin C－b－c＝0， 由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C， 即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C， 亦即sin Acos C＋sin Asin C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C， 则sin Asin C－cos Asin C＝sin C. 又sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝. 在△ABC中，0°<A<180°，则－30°<A－30°<150°， 所以A－30°＝30°，得A＝60°. (2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝. 所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝. 由正弦定理，得＝＝. 设a＝7x，c＝5x(x>0)， 则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B， 即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×， 解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5， 故S△ABC＝acsin B＝10. 5．(2018·江苏省南京市溧水高级中学模拟)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到A，B之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元(其中a是正数)．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元． (1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； (2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？ 解　(1)由题意知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α. 由正弦定理知＝＝， 即CD＝，AD＝， 所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a ＝a＋80a ＝a＋60a. (2)S′＝20··a， 令S′＝0，得cos α＝， 当cos α>时，S′<0； 当cos α<时，S′>0， 所以当cos α＝时，S取得最小值， 此时sin α＝，AD＝ ＝5＋＝， 所以中转点D距A处 千米时，运输成本S最小． 6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)． (1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围． 解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t＝2sin＋t， f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2， ∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sin＋t＝0， ∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1. 令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z， 求得－≤x≤＋，k∈Z， 故f(x)的单调增区间为，k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得 y＝2sin－1＝2sin－1的图象， 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象． ∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈， 故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为. 若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点， 由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点， 根据图象(图略)可知，k＝－1或1－<k≤＋1. 故实数k的取值范围是{－1}∪(1－，＋1]．