2020年高考数学一轮(江苏理) 第2章 2.5 指数与对数.docx

§2.5　指数与对数 考情考向分析　幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广． 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 0的n次实数方根是0 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝(n为偶数)； ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)； ②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)； ③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． 3．对数的概念 (1)对数的定义 ①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)； ②logab＝(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM. 概念方法微思考 根据对数的换底公式， (1)思考logab，logba的关系； (2)化简. 提示　(1)logab·logba＝1； (2)＝logab. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　) (3)2a·2b＝2ab.(　×　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (5)若lg x2＝1，则x＝.(　×　) 题组二　教材改编 2．[P61例2]计算：＝ . 答案　 3．[P80习题T6]计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ . 答案　1 4．[P80习题T12]已知lg 6＝a，lg 12＝b，那么用a，b表示lg 24＝ . 答案　2b－a 题组三　易错自纠 5．要使＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是 ． 答案　[2,4)∪(4，＋∞) 解析　要使原式有意义，则满足 解得2≤a<4或a>4. 6．有下列结论： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0； ③若lg x＝1，则x＝10； ④若log22＝x，则x＝1； ⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9. 其中正确结论的序号是 ． 答案　①②③④⑤ 解析　①lg 10＝1，则lg(lg 10)＝lg 1＝0； ②lg(ln e)＝lg 1＝0； ③底的对数等于1，则x＝10； ④底的对数等于1； ⑤logmn＝，log3m＝，则＝2， 即log3n＝2，故n＝9. 题型一　指数幂的运算 1.(a>0)的值是 ． 答案　 解析　＝ 2．化简：(a>0)＝ . 答案　a2 解析　原式＝ 3．已知x＋x－1＝3，则的值为 ． 答案　2 解析　＝x＋2＋x－1＝5， ＝(3－1)＝2. 4．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，则＝ . 答案　 解析　由已知得，a＝3＋，b＝3－， 所以a＋b＝6，ab＝4， 所以2＝＝＝. 因为a>b>0，所以>，所以＝. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二　对数的运算 1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ . 答案　 解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝. 2．计算：＝ . 答案　－20 解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10 ＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 3．计算：＝ . 答案　1 解析　原式 ＝ ＝ ＝＝＝＝1. 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型三　指数与对数的综合运算 例 (1)已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且＋＋＝0，求abc的值． 解　令ax＝by＝cz＝k. 由已知k>0且k≠1， 于是xlg a＝ylg b＝zlg c＝lg k， 故＝，＝，＝. 因为＋＋＝0， 所以＝0， 即＝0. 故lg(abc)＝0，得abc＝1. (2)设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值． 解　由题意，得即 于是有 (logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5， 故logCa－logCb＝±. 于是＝－1＝＝±. 思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系． 跟踪训练 (1)若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝ . 答案　7 解析　a＝log32，b＝log53，于是 (2)方程－＝3x－1的实数解为 ． 答案　x＝log32 解析　原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0， 即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)， 得x＝log32. (3)若log2log3x＝log3log2y＝log2log2z＝1，则x2，y3，z4从小到大的排列为 ． 答案　x2<z4<y3 解析　由题设得log3x＝2，log2y＝3，log2z＝2， 即x＝32，y＝23，z＝22，故x2＝34，y3＝29，z4＝28， 所以x2<z4<y3. 1．化简的结果为 ． 答案　－ 解析　原式＝ ＝－6ab－1＝－. 2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为 ． 答案　27 解析　∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3， ∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y， 解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27. 3．已知a－＝3(a>0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为 ． 答案　11＋ 解析　由a－＝3，得2＝9， 即a2＋－2＝9，故a2＋a－2＝11. 又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13， 且a>0，所以a＋a－1＝. 于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋. 4．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝ . 答案　 解析　∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7， ∴3a－b＝＝. 5．lg22·lg 250＋lg25·lg 40＝ . 答案　1 解析　lg22·lg 250＋lg25·lg 40 ＝lg22·＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg22·(3－2lg 2)＋(lg22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1. 6．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为 ． 答案　a－2 解析　log38－2log36＝log323－2(log32＋log33) ＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 7．若3x＝4y＝36，则＋＝ . 答案　1 解析　3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得 xlog63＝ylog64＝2， ∴＝log63，＝log64，即＝log62， 故＋＝log63＋log62＝1. 8．设f(x)＝则f(f(－2))＝ . 答案　 解析　因为f(－2)＝2－2＝， 所以f(f(－2))＝f ＝1－＝1－＝. 9．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝ . 答案　9 解析　 10．(2018·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f(x)＝则f(f(－1))的值为 ． 答案　－2 解析　因为f(－1)＝4－1＝， 所以f(f(－1))＝f ＝log2＝－2. 11．化简下列各式： (1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋； (2) 解　(1)原式＝＋＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝100. (2)原式＝ ＝÷＝. 12．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值． 解　由已知得lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 则(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0， 也即(x－2y)(x＋y)＝0. 因为x>0，y>0，所以x＋y>0，于是有x＝2y，即＝2. 13．若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b＝ . 答案　－2 解析　∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1. 又(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8， ∴a2b＋a－2b＝6， ∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4， ∴ab－a－b＝－2. 14．已知loga18＝p，loga24＝q，用p，q表示loga1.5. 解　依题意有即 变形为解得 所以loga1.5＝loga＝loga3－loga2 ＝－＝， 即loga1.5＝. 15．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝ . 答案　8 解析　∵a>b>1，∴logba>1， 又由logab＋logba＝，得＋logba＝， 可得logba＝2，∴a＝b2， 又ab＝ba，∴b2b＝， ∴b＝2(b＝0舍去)，∴a＝4，故ab＝8. 16．已知m，n为正整数，a>0，a≠1，且 loga(m＋n)＝logam＋logan，求m，n的值． 解　loga(m＋n)＝logam＋logan＝loga(mn)． 比较真数得m＋n＝mn，即(m－1)(n－1)＝1. ∵m，n为正整数，∴解得