4 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　) A．－　　 B. C. D. 解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D. 2．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　) A. B. C. D. 解析：选A.cos2＝ ＝＝，又sin 2α＝， 所以原式＝＝，故选A. 3．(2019·郑州模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D.cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos ＝，故选D. 4．(2019·临川模拟)已知cos＝，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选B.sin＝sin ＝cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选B. 5．(2019·安徽淮南一模)设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　) A．α－β＝ B．α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：选A.tan α＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝. 6．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选C.由3cos 2α＝sin可得 3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)， 又由α∈可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝， 所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C. 7．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选A.因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝. 8.的值为________． 解析：原式＝＝＝. 答案： 9．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝________． 解析：＝＝ ＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝. 因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以tan 2α＝－. 答案：－ 10．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________． 解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝＋cos αsin β∈[－1，1]，所以－≤cos αsin β≤. 同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β∈[－1，1]，所以－≤cos αsin β≤. 综上可得，－≤cos αsin β≤. 答案： 11．已知sin＝，α∈.求： (1)cos α的值； (2)sin的值． 解：(1)sin＝， 即sin αcos＋cos αsin＝， 化简得sin α＋cos α＝，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②解得cos α＝－或cos α＝， 因为α∈.所以cos α＝－. (2)因为α∈，cos α＝－， 所以sin α＝， 则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－， 所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－. 12．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)法一：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 因为α∈，所以4α＋∈. 所以4α＋＝.故α＝. 法二：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z， 所以α＝＋，k∈Z. 又因为α∈， 所以当k＝1，即α＝时，符合题意． 故α＝. [综合题组练] 1．(2019·六安模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 解析：选A.因为α∈，β∈，所以2α∈. 又0<sin 2α＝<，所以2α∈，即α∈，所以β－α∈，所以cos 2α＝－＝－. 又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－×－×＝. 又α∈，β∈， 所以α＋β∈， 所以α＋β＝，故选A. 2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知＋b2＝1，则|acos θ＋2bsin θ|的最大值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：选C.由＋b2＝1得a2＋4b2＝4.由辅助角公式可得|acos θ＋2bsin θ|＝|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C. 3．(应用型)在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________． 解析：由题意知cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，得tan A＝tan Btan C．又因为cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)＝－tan A(1－tan Btan C)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196. 答案：196 4．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tan α的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－. (2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R， 所以g(x)＝cos－2cos2x ＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1， 因为0≤x≤， 所以－≤2x－≤π， 所以－≤sin≤1， 所以－2≤2sin－1≤1， 所以g(x)在区间上的值域为[－2，1]．