3 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．(2019·合肥市第一次质量检测)已知cos α－sin α＝，则cos＝(　　) A．－　　　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：选C.由cos α－sin α＝，得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝，故选C. 2．(2019·福州模拟)已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选C.由题意，得2cos2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0， 解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)，故选C. 3．(2019·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C. 4．(2019·四川成都第七中学一诊)已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　) A．－6或1 B．－1或6 C．6 D．1 解析：选A.由题意，tan α＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1，故选A. 5．(2019·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B．－ C. D．± 解析：选A.因为cos＝， 所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝＝cos ＝×＝. 故选A. 6．(2019·北京丰台二中期中)若sin 2α＝a，cos 2α＝b，且tan有意义，则tan＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C.因为sin 2α＝a，cos 2α＝b，所以tan＝＝＝＝＝，故选C. 7.的值是(　　) A. B. C. D. 解析：选C.原式＝ ＝ ＝＝. 8．sin 10°sin 50°sin 70°＝________． 解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝＝＝. 答案： 9．(2019·郑州市第二次质量预测)已知cos＋cos α＝，则cos＝________． 解析：由cos＋cos α＝可得cos αcos＋sin αsin＋cos α＝，即cos α＋sin α＝， ＝， 得sin＝， 故cos＝sin＝. 答案： 10．(2019·山东淄博模拟)若α为第一象限角，且sin 2α＝sincos(π＋α)，则cos的值为________． 解析：由sin 2α＝sincos(π＋α)， 得2sin αcos α＝cos2α. 因为α为第一象限角，所以tan α＝， 所以cos＝ ＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α ＝ ＝＝. 答案： 11．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－. (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)因为α，β∈，从而－<α－β<. 又因为tan(α－β)＝－<0， 所以－<α－β<0. 利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，且＝－， 解得sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝. 因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝. 12．已知coscos＝－，α∈. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． 解：(1)coscos ＝cossin＝sin＝－，即sin＝－. 因为α∈，所以2α＋∈， 所以cos＝－， 所以sin 2α＝sin ＝sincos －cossin ＝－×－(－)×＝. (2)因为α∈，所以2α∈， 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－. 所以tan α－＝－＝ ＝＝－2×＝2. [综合题组练] 1．(创新型)(2019·湖北重点高中联考协作体模拟)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：选C.因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°. 所以＝＝＝＝＝2.故选C. 2．(应用型)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________． 解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，所以α－β＝， 所以即≤α≤π， 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝sin. 因为≤α≤π，所以≤α＋≤， 所以－1≤sin≤1， 即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1] 3．(创新型)已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________． 解析：由sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°可得， m＝＝ ＝＝＝－. 答案：－ 4．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)由题意，OA＝OM＝1， 因为S△OAM＝，α为锐角， 所以sin α＝，cos α＝. 又点B的纵坐标是. 所以sin β＝，cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. (2)因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－， sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝， 所以2α∈. 因为β∈， 所以2α－β∈. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－， 所以2α－β＝－.