10 第9讲　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题　新题培优练(1).doc

[基础题组练] 1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若<k<，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选B.由题意知：B， 所以k＝＝＝1－e.又<k<， 所以<1－e<，解得<e<. 2．(2019·陕西质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是(　　) A. B. C．2 D. 解析：选A.因为OM⊥PF，且MF＝PM，所以OP＝OF，所以∠OFP＝45°，所以|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·，所以e＝＝. 3．(2018·高考浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2. 答案：5 4．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为________．　 解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4， 所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′| ＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1. 答案：1 5．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意得解得a＝，b＝1. 所以椭圆M的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. |AB|＝ ＝ ＝ ＝. 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. 6．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 解：(1)设P(x0，y0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4· 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 因此，PM垂直于y轴． (2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB面积的取值范围是. [综合题组练] 1．(综合型)(2019·益阳、湘潭市调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)． 解：(1)由题设得解得 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0. 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－. 所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA ＝×2×|y1|＋×2×|y2| ＝|y1－y2| ＝ ＝ ＝ ＝(其中t＝，t≥1)． 因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增，所以3t＋≥4， 所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. 解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1. (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0. 由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直线BM，BN的斜率之和为 kBM＋kBN＝＋＝.① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN. 综上，∠ABM＝∠ABN. 3．设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l(异于x轴)与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，求的值． 解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1，点A的坐标为或， 所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－. (2)当l与x轴垂直时，∠OMA＝∠OMB，所以＝1. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋， 由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得 kMA＋kMB＝. 将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0， 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB， 所以＝1. 综上可得＝1. 4.如图，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点E关于x轴的对称点为H，过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M，求△MAP面积的最大值． 解：(1)由已知得，解得， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)椭圆C的左顶点A(－2，0)，设l的方程：y＝k(x＋2)，则E(0，2k)，H(0，－2k)， 由，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－4)＝16＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 则x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋2)＝k＝，kOP＝＝－＝－， 直线EM的斜率kEM＝－＝2k， 所以直线EM的方程为y＝2kx＋2k，即y＝2k(x＋1)， 直线AH的方程为y＝－k(x＋2)， 所以点M， 点M到直线l：kx－y＋2k＝0的距离d＝＝， |AB|＝|x1－x2|＝＝， |AP|＝|AB|＝， △MAP的面积S＝|AP|d＝··＝＝≤＝，当且仅当|k|＝时取等号．所以△MAP面积的最大值为.