8 第8讲　指数函数　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　) A．y＝　　　　　　 B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 解析：选A.由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝，知(1，1)不在y＝的图象上． 2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选D.函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D. 3．若函数f(x)＝x，则函数f(x)的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．y＝x对称 解析：选C.f(x)的定义域为R.f(x)＝x＝x·，则f(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．故选C. 4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：选B.由f(1)＝得a2＝， 所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. 5．不等式a2x－7>a4x－1(0<a<1)的解集为____________． 解析：因为y＝ax(0<a<1)为减函数，所以2x－7<4x－1，解得x>－3. 答案：(－3，＋∞) 6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]． 答案：[－1，1] 7．已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值等于，求a的值． 解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的， 因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)由于f(x)的最大值是， 且＝， 所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2. 8．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围 解：(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)， 所以 所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，()x＋()x－m≥0恒成立，即m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立． 又因为y＝()x与y＝()x均为减函数，所以y＝()x＋()x也是减函数，所以当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.所以m≤.即m的取值范围是(－∞，]． [综合题组练] 1．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D．[2，＋∞) 解析：选B.因为2 x2＋1≤＝24－2x，则x2＋1≤4－2x即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1. 所以≤y≤2. 2．(应用型)(2019·湖南衡阳三中月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－1，2) 解析：选D.因为(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，所以m2－m<在x∈(－∞，－1]上恒成立．因为y＝在(－∞，－1]上单调递减，所以当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，所以m2－m<2，所以－1<m<2，故选D. 3．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，则a的取值范围是____________． 解析：因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2.因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，所以a≤5，所以a的取值范围是(2，5]． 答案：(2，5] 4．(应用型)已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________． 解析：画出函数图象如图所示， 由图象可知要使a>b≥0， f(a)＝f(b)同时成立， 则≤b<1. b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1) ＝b2＋b＝－， 所以≤b·f(a)<2. 答案： 5．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)． (1)若f(x)为偶函数，求b的值； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件． 解：(1)因为f(x)为偶函数， 所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)， 即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. (2)记h(x)＝|x＋b|＝ ①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b≤2，b≥－2. ②当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2. 6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)． 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)． 所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0. 解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为.