6 第6讲　平行、垂直的综合问题　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°， 所以BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD， 且平面ABD∩平面BCD＝BD， 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB. 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC. 又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC. 2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　) A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90° C．CA′与平面A′BD所成的角为30° D．四面体A′BCD的体积为 解析：选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确； 由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，则BA′⊥A′C，于是B正确； 由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确； VA′­BCD＝VC­A′BD＝，D不正确．故选B. 3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF. 证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC. 又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 又因为AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF. 由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF. 4.(2019·郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF. (1)求证：AD⊥PB. (2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由． 解：(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD. 因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD. 又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB. (2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD. 又BF⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD， 又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD. 连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，所以GH⊥平面ABCD. 又GH⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD. 因为AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以＝＝，所以＝＝，所以GH＝PF＝， 所以VD­CEG＝VG­CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin·GH＝. 5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点． (1)证明：AE⊥平面PAD； (2)取AB＝2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为，求PA的长度． 解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形， ∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形． 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC. 又因为BC∥AD，所以AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD. (2)连接AH. 由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中，AE＝，tan∠EHA＝＝， 所以当AH最短，即AH⊥PD时，∠EHA最大， 此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝. 又因为AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝AD＝2. [综合题组练] 1．(2019·武汉市部分学校调研)如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图(2)所示的四棱锥D1­ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)证明：BE⊥平面D1AE； (2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，所以BE⊥平面D1AE. (2)＝，理由如下： 取D1E的中点L，连接FL，AL(图略)，所以FL∥EC.又EC∥AB，所以FL∥AB，且FL＝AB.所以M，F，L，A四点共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AL.所以四边形AMFL为平行四边形，所以AM＝FL＝AB，＝. 2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点． (1)求证：平面BDM∥平面EFC； (2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A­CEF的体积． 解：(1)如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN， 又M为棱AE的中点，所以MN∥EC. 因为MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC， 所以MN∥平面EFC. 因为BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， 所以BF綊DE， 所以四边形BDEF为平行四边形，所以BD∥EF. 因为BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC， 所以BD∥平面EFC. 又MN∩BD＝N，所以平面BDM∥平面EFC. (2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又BF⊥平面ABCD，所以BF⊥AC. 又BF∩BD＝B，所以AC⊥平面BDEF， 又N是AC的中点，所以VA­NEF＝VC­NEF， 所以VA­CEF＝2VA­NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝， 所以三棱锥A­CEF的体积为. 3．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图(2)所示． (1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF； (2)求证：BD⊥A1F； (3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由． 解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF. (2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E， 所以BD⊥平面A1EF. 又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F. (3)直线A1B与直线CD不能垂直． 理由如下： 因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD. 因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF， 又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM. 假设A1B⊥CD， 因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD， 所以A1B⊥BD， 这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直． 4．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点． (1)求证：A1F∥平面ECC1； (2)在线段CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 解：(1)如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM. 则B1F∥BM且B1F＝BM. 所以四边形B1FMB是平行四边形， 所以FM∥B1B且FM＝B1B. 所以FM∥A1A且FM＝A1A， 所以四边形AA1FM是平行四边形， 所以FA1∥AM. 因为E为AD的中点， 所以AE∥MC且AE＝MC. 所以四边形AMCE是平行四边形． 所以EC∥AM，所以EC∥A1F. 因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1， 所以A1F∥平面ECC1. (2)在CD上存在一点G且G是CD的中点，使BG⊥平面ECC1，证明如下． 取CD的中点G，连接BG， 在△CDE和△BCG中，DE＝GC，CD＝BC，∠EDC＝∠BCG， 所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC. 因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°， 所以BG⊥EC. 因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD， 所以CC1⊥BG，又EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1. 故在CD上存在点G，且G是CD的中点，使得BG⊥平面ECC1. 5．阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵． 再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E­ABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑(三棱锥E­FCD)． (1)在阳马(四棱锥E­ABCD)中，连接BD，若AB＝AD，证明：EC⊥BD； (2)求阳马(四棱锥E­ABCD)和鳖臑(三棱锥E­FCD)的体积比． 解：(1)如图，连接AC. 因为四边形ABCD是矩形，AB＝AD， 所以矩形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD. 因为EA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以EA⊥BD， 又EA∩AC＝A，EA⊂平面EAC，AC⊂平面EAC， 所以BD⊥平面EAC. 因为EC⊂平面EAC， 所以EC⊥BD. (2)设AB＝a，AD＝b，EA＝c. 在阳马(四棱锥E­ABCD)中， 因为EA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形， 所以V四棱锥E­ABCD＝×a×b×c＝. 在鳖臑(三棱锥E­FCD)中， 因为EF⊥平面FCD，FD⊥CD，CD＝a，EF＝b，DF＝c， 所以S△FCD＝×a×c＝， 所以V三棱锥E­FCD＝××b＝， 所以V四棱锥E­ABCD∶V三棱锥E­FCD＝∶＝2∶1， 所以阳马(四棱锥E­ABCD)和鳖臑(三棱锥E­FCD)的体积比为2∶1.