2020年高考数学一轮(江苏理) 第12章 12.2 第1课时 坐标系.docx

§12.2　坐标系与参数方程 第1课时　坐标系 考情考向分析　极坐标方程与直角坐标方程互化是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，属于低档题． 1．平面直角坐标系 在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标． 2．极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的任一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立： 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0<θ<π) 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　×　) (2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　√　) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　√　) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　×　) 题组二　教材改编 2．[P11例5]在直角坐标系中，若点P的坐标为(－，－)，则点P的极坐标为________． 答案　 解析　ρ＝＝2，tan θ＝＝， 又点P在第三象限，得θ＝，即P. 3．[P32习题T4]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为________________________． 答案　ρ＝ 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝. 4．[P32习题T5]在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ(ρ≥0,0≤θ<2π)的圆心的极坐标是________． 答案　 解析　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为. 题组三　易错自纠 5．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是________． 答案　ρsin θ＝1 解析　先将极坐标化成直角坐标，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即P(，1)，过点P(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1. 6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为____________． 答案　x2＋y2－2y＝0 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0. 7．在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标． 解　∵为点P(ρ，θ)的一个极坐标． ∴ρ＝4或ρ＝－4. 当ρ＝4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴＝2，＝kπ＋(k∈Z)． 当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴＝－2，＝kπ＋(k∈Z)． ∴有四个不同的点： P1(k∈Z)，P2(k∈Z)， P3(k∈Z)，P4(k∈Z)． 题型一　极坐标与直角坐标的互化 1．(2018·南京模拟)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心C为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为y＝x－2，点P的直角坐标为(1，)， 令y＝0，得x＝2，所以C(2,0)， 所以圆C的半径PC＝＝2， 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即x2＋y2－4x＝0， 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 2．(2019·江苏省徐州一中月考)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsin＝a截得的弦长为2，求实数a的值． 解　因为圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4， 直线l的直角坐标方程为x－y＋2a＝0， 所以圆心C到直线l的距离d＝＝|1＋a|， 因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2－d2＝3. 即4－(1＋a)2＝3，解得a＝0或a＝－2. 3．(2018·苏州期中)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数，r>0)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＋1＝0. (1)求圆C的圆心的极坐标； (2)当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围． 解　(1)由C：得(x－2)2＋(y－2)2＝r2， ∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆， ∴圆心的极坐标为. (2)由直线l：ρsin＋1＝0， 得直线l的直角坐标方程为x＋y＋1＝0， 从而圆心(2,2)到直线l的距离d＝＝. ∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥. 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换． 题型二　求曲线的极坐标方程 例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程． 解　(1)设(x1，y1)为圆上的任一点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1， 即曲线C的标准方程为x2＋＝1. (2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝， 于是所求直线方程为y－1＝， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝. 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝. (1)求圆C和直线l的极坐标方程； (2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 解　(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0， ∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin. 又直线l的参数方程为(t为参数)， 消去t后得y＝x＋1， ∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝. (2)当θ＝时，OP＝2sin＝2， ∴点P的极坐标为，OQ＝＝， ∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为. 题型三　极坐标方程的应用 例2 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM·OP＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知OP＝ρ，OM＝ρ1＝. 由OM·OP＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题意，知OA＝2，ρB＝4cos α， 于是△OAB的面积S＝·OA·ρB·sin∠AOB ＝4cos α·＝2≤2＋. 当α＝－时，S取得最大值2＋. 所以△OAB面积的最大值为2＋. 思维升华 极坐标应用中的注意事项 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位． (2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系． 跟踪训练2 在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长． 解　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16， 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2＝2＝4. 故所求弦长为4. 1．(2018·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cos θ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长． 解　圆C：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 即(x－)2＋y2＝2， 直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x， 圆心C到直线l的距离d＝＝1， 所以AB＝2＝2. 2．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2－8ρsin＋13＝0，已知A，B，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值． 解　圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＋13＝0， 即(x＋2)2＋(y－2)2＝3， 由题意，得A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2. P到直线AB距离的最小值为2－＝， 所以△PAB面积的最小值为×2×＝. 3．(2018·江苏省姜堰、溧阳、前黄中学联考)圆C：ρ＝2cos，与极轴交于点A(异于极点O)，求直线CA的极坐标方程． 解　圆C：ρ2＝2ρcos＝ρcos θ＋ρsin θ， 所以x2＋y2－x－y＝0， 所以圆心C，与极轴交于A(，0)． 直线CA的直角坐标方程为x＋y＝， 即直线CA的极坐标方程为ρcos＝1. 4．在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若OP＝3OQ，求直线l的极坐标方程． 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y， ∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2， ∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4. (2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)， 根据题意知＝3·， 解得θ0＝或θ0＝， ∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)． 5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求PQ的最大值． 解　对曲线C1的极坐标方程进行转化， ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 对曲线C2的极坐标方程进行转化， ∵ρ＝12cos， ∴ρ2＝12ρ， ∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36， ∴PQmax＝6＋6＋＝18. 6．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即MN＝. 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形， 所以△C2MN的面积为. 7．(2018·江苏江阴中学调研)在极坐标系中，设圆C：ρ＝4cos θ与直线l：θ＝(ρ∈R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程． 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则由题意，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0， 直线l的直角坐标方程为y＝x. 由解得或 所以交点的坐标分别为(0,0)，(2,2)． 所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＝2x＋2y， 将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 即ρ＝2(cos θ＋sin θ)． 8．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρsin＝－，⊙C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (1)求直线l和⊙C的直角坐标方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长． 解　(1)直线l：ρsin＝－， ∴ρ＝－， ∴y·－x·＝－，即y＝－x＋2. ⊙C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x2＋y2＝4x＋2y，即x2＋y2－4x－2y＝0. (2)⊙C：x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. ∴圆心C(2,1)，半径R＝， ∴⊙C的圆心C到直线l的距离 d＝＝， ∴AB＝2＝2 ＝. ∴弦AB的长为. 9．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R. (1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标； (2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标． 解　(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1， 点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(cos θ，sin θ)， 根据题意，设PQ＝2－cos θ，QR＝2－sin θ， ∴PQ＋QR＝4－2sin， 当θ＝时，PQ＋QR取最小值2， ∴矩形PQRS周长的最小值为4， 此时点P的直角坐标为. 10．(2018·江苏)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长． 解　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l的极坐标方程为 ρsin＝2， 则直线l过点A(4,0)，且倾斜角为， 所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB＝. 如图，连结OB. 因为OA为直径，从而∠OBA＝， 所以AB＝4cos ＝2. 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2. 11．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若直线l的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l被曲线C截得的弦长． 解　(1)曲线C的参数方程为 (α为参数)， ∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)∵l的直角坐标方程为x＋y－1＝0， ∴圆心C(2,1)到直线l的距离d＝＝， ∴弦长为2＝2. 12．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点． (1)求a； (2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求OA＋OB的最大值． 解　(1)曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，变形为ρ2＝2aρcos θ， 化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2， ∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆． 由l：ρcos＝， 展开为ρcos θ＋ρsin θ＝， ∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0. 由题意，知直线l与圆C相切，即＝a， 又a>0，∴a＝1. (2)由(1)知，曲线C：ρ＝2cos θ. 不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋， 则OA＋OB＝2cos θ＋2cos ＝3cos θ－sin θ＝2cos， 当θ＝时，OA＋OB取得最大值2.