2020年高考数学一轮(江苏理) 第8章 8.3 直线、平面垂直的判定与性质.docx

§8.3　直线、平面垂直的判定与性质 考情考向分析　直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想． 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线和平面的交点即为垂足． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ⇒l⊥α 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 概念方法微思考 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？ 提示　垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面． 2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？ 提示　垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　) (2)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　) (3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　×　) (4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　×　) 题组二　教材改编 2．[P43练习T2]下列命题中正确的是________．(填序号) ①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β； ②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 答案　①②③ 解析　对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他命题均是正确的． 3．[P45T11]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心． 题组三　易错自纠 4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　充分不必要 解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立； 若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件． 5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是________． 答案　垂直 解析　因为DD1⊥平面ABCD， 所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以AC⊥平面BDD1B1， 因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2， 则OM＝＝，MN＝＝， ON＝＝， 所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN. 6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为________． 答案　4 解析　因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形．故直角三角形的个数为4. 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF. 证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC， 所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F⊂平面B1BCC1， 所以AD⊥B1F. 方法一　在矩形B1BCC1中， 因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD＝∠C1B1F， 所以∠B1FD＝90°， 所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF. 方法二　在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3， 所以B1D＝＝. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1， 所以B1F＝＝. 在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1， 所以DF＝＝. 显然DF2＋B1F2＝B1D2， 所以∠B1FD＝90°. 所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质． 跟踪训练1 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC， BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点． (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)求证：EF∥平面PAD. 证明　(1)因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD. 又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD， 又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 又因为CD⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)连结AC，BD交于点O，连结OE，OF. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点． 因为E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以OE∥平面PAD. 同理可证OF∥平面PAD. 因为OE∩OF＝O，OB，OF⊂平面OEF， 所以平面OEF∥平面PAD. 因为EF⊂平面OEF，所以EF∥平面PAD. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 跟踪训练2 (2018·南京、盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点． (1)求证：B1C1∥平面A1DE； (2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1. 证明　(1)因为D，E分别是AB，AC的中点， 所以DE∥BC. 又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC， 所以B1C1∥DE. 又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE， 所以B1C1∥平面A1DE. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC， 又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE. 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC. 又CC1，AC⊂平面ACC1A1， 且CC1∩AC＝C， 所以DE⊥平面ACC1A1， 又因为DE⊂平面A1DE， 所以平面A1DE⊥平面ACC1A1. 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1)求证：C1E∥平面ADF； (2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF. (1)证明　连结CE交AD于O，连结OF. 因为CE，AD为△ABC的中线， 则O为△ABC的重心，故＝＝，故OF∥C1E， 因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF， 所以C1E∥平面ADF. (2)解　当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 证明如下：因为AB＝AC，AD⊂平面ABC， 故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1， 故平面B1BCC1⊥平面ABC. 又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC， 所以AD⊥平面B1BCC1， 又CM⊂平面B1BCC1， 故AD⊥CM. 又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2， 故Rt△CBM≌Rt△FCD. 易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF， 故CM⊥平面ADF. 又CM⊂平面CAM， 故平面CAM⊥平面ADF. 思维升华 对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证． 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． 途径三：将几何问题转化为代数问题． 跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1. (1)求证：平面CFG⊥平面ACE； (2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由． (1)证明　连结BD交AC于点O，则BD⊥AC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连结MN，则MN∥BD， 连结FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN， 所以四边形FMNG为平行四边形， 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD. 所以FG⊥AE， 又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE， 所以FG⊥平面ACE. 又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE. (2)解　存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点， 连结EQ，CQ，取CO的中点H，连结EH， 由已知易知，平面EFG∥平面ABCD， 又平面ACE∩平面EFG＝EQ， 平面ACE∩平面ABCD＝AC， 所以CH∥EQ， 又CH＝EQ＝， 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ， 又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG， 所以EH∥平面CFG， 所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG， 且CH＝. 1．已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是________．(填序号) ①平行；②垂直；③斜交；④不能确定． 答案　② 解析　设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b. 过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′. 同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′. ∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α. 2．设l，m表示直线，m是平面α内的一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　必要不充分 解析　由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线，则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件． 3．已知平面α，β，直线m，n.给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ②若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n. 其中，真命题是________．(填序号) 答案　②③④ 解析　对于①，当m⊂α时，才能保证m⊥β，不对；对于②，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，对；③④都对． 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β； ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β； ④若m∥n，n⊂α，则m∥α. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案　①③ 解析　易知①正确；②可能有m⊂β，m∥β，m与β相交等情况，故不正确；③正确；④可以有m∥α或m⊂α，故不正确． 5．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示) 答案　①③④⇒②(或②③④⇒①) 解析　逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误； ①③④⇒②与②③④⇒①均正确． 6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 答案　4 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形． 7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上． 答案　AB 解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B， ∴AC⊥平面ABC1. 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上． 8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连结AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 9．如图所示的五个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是________．(填序号) 答案　①④ 解析　图②中，只有MP⊥l；图③中，l与MN，PN，MP均不垂直；图⑤中l与NP，MP不垂直． 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________． 答案　 解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 11．(2018·江苏南京师大附中考前模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC， 又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF. 又AB⊥AD， 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. (1)证明：MN∥平面PDC； (2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值． (1)证明　因为AB＝BC，AD＝CD， 所以BD垂直平分线段AC. 又∠ADC＝120°， 所以MD＝AD＝，AM＝. 所以AC＝. 又AB＝BC＝， 所以△ABC是等边三角形， 所以BM＝，所以＝3， 又因为PN＝PB， 所以＝＝3， 所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC， 所以MN∥平面PDC. (2)解　因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA， 又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 由(1)知MN∥PD， 所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角， 故∠DPM即为所求的角． 在Rt△PAD中，PD＝2， 所以sin∠DPM＝＝＝， 所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为. 13．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论： ①BC∥平面PDF； ②DF⊥平面PAE； ③平面PDF⊥平面ABC. 其中不成立的结论是________．(填序号) 答案　③ 解析　如图，由题意知BC∥DF， 又BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF， ∴BC∥平面PDF. ∵P－ABC为正四面体， ∴BC⊥PE，AE⊥BC， 又AE∩PE＝E， ∴BC⊥平面PAE， ∴DF⊥平面PAE， ∴平面PAE⊥平面ABC， ∴①②成立． 易知∠PMA为二面角P－DF－A的平面角． 设此正四面体的棱长为1，则PA＝1，AM＝， PM2＝PD2－DM2＝2－2＝， ∴PA2≠AM2＋PM2， 即∠PMA不为90°，平面PDF与平面ABC不垂直， 故③不成立． 14.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC； ④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________． 答案　①②③ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC， ∴AF⊥平面PBC， ∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A， AE，AF⊂平面AEF， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF. 故①②③正确． 15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，中心为O.设PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA＝4，则CE＝________时，PO⊥平面BDE. 答案　2 解析　要使PO⊥平面BDE， 因为易证PO⊥BO， 所以只要使PO⊥OE，即∠POE＝90°， 只要使Rt△PAO∽Rt△OCE，即＝， 即只要＝，只要CE＝2. 故当CE＝2时，可使PO⊥平面BDE. 16.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_____．(写出所有正确说法的序号) ①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD. 答案　①② 解析　由已知，在未折叠的原梯形中， 易知四边形ABCE为矩形， 所以AB＝EC，所以AB＝DE， 又AB∥DE， 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BE＝AD，折叠后如图所示． ①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连结NP. 因为M，N分别是AD，BE的中点， 所以点P为AE的中点，故NP∥EC. 又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E， 所以平面MNP∥平面DEC， 故MN∥平面DEC，①正确； ②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC， 所以AE⊥MP，AE⊥NP， 又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP， 又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确； ③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA， 从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA， 与BE和AD是异面直线矛盾，③错误； ④当EC⊥ED时，EC⊥AD. 因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E， 所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED， 所以EC⊥AD，④不正确．