6 第6讲　离散型随机变量及其分布列　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2)　　　　　　　 B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C. 2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a，k＝1，2，3，则a的值为(　　) A．1 B. C. D. 解析：选D.因为随机变量X的分布列为 P(X＝k)＝a，k＝1，2，3， 所以根据分布列的性质有a×＋a＋a＝1， 所以a＝a×＝1， 所以a＝. 3．设随机变量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤1)＝＋＝. 4．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) A. ξ 1 2 3 P B. ξ 1 2 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C. 5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：选B.设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%. 6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件， 其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 答案： 7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． 解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 答案： 8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________． 解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝. 答案： 9．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法． (1)求n的值； (2)求随机变量X的分布列． 解：(1)因为当X＝2时，有C种坐法， 所以C＝6，即＝6， n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X， 由题意知X的可能取值是0，2，3，4， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝1－－－＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 2 3 4 P 10.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3. P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P [综合题组练] 1．(2019·长春质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计： 点击量 [0，1 000] (1 000，3 000] (3 000，＋∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列． 解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2. (2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，故X的可能取值为0，20，40，60. P(X＝0)＝＝， P(X＝20)＝＝＝， P(X＝40)＝＝＝， P(X＝60)＝＝＝， 故X的分布列为 X 0 20 40 60 P 2.(2019·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示． (1)若甲单位数据的平均数是122，求x； (2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列． 解：(1)由题意知 ＝122， 解得x＝8. (2)由题得ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ2的所有可能取值为0，1，2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0，1，2，3，4. 因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以 P(η＝0)＝＝； P(η＝1)＝＝； P(η＝2)＝＝； P(η＝3)＝＝； P(η＝4)＝＝. 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 4 P 3．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50，100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)， 且f(x)＝ 考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50，60)内的成绩记为1分，考试分数在[60，70)内的成绩记为2分，考试分数在[70，80)内的成绩记为3分，考试分数在[80，90)内的成绩记为4分，考试分数在[90，100)内的成绩记为5分．在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率)． (1)求b的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求P(ξ＝7)； (3)求ξ的分布列． 解：(1)因为f(x)＝ 所以＋＋＋＋＝1， 所以b＝1.9. 估计该班的考试平均分数为 ×55＋×65＋×75＋×85＋×95＝76(分)． (2)由题意可知：考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P(ξ＝7)＝＝. (3)ξ＝5，6，7，8，9， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝， P(ξ＝7)＝， P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝9)＝＝. ξ的分布列为 ξ 5 6 7 8 9 P