5 第5讲　第1课时　椭圆及其性质　第1课时　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　) A．(±，0)　 B．(0，±) C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0) 解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B. 2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<144)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：选D.曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等． 3．(2019·郑州市第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D. 4．(2019·长春市质量检测(二))已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　) A. B．1 C. D. 解析：选D.法一：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝，其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长4a＝8. 法二：由椭圆的通径公式可得|AB|＝＝3，则S＝2×3×＝3，C＝4a＝8，则r＝＝. 5．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，故椭圆的离心率e＝＝. 答案： 6．(2019·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2， 所以解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积． 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意得因此a＝5，b＝4， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)易知|yP|＝4，又c＝3， 所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12. 8．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)； (2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)， 由已知条件得 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12. 故椭圆方程为＋＝1或＋＝1. [综合题组练] 1．(2019·贵阳市摸底考试)P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　) A. B. C. D. 解析：选D.如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D. 2．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C.由题意知，c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝＝8，又|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C. 3．(综合型)已知△ABC的顶点A(－3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________． 解析：由椭圆方程知a＝5，b＝4，所以c＝＝3，所以A，B为椭圆的焦点．因为点C在椭圆上，所以|AC|＋|BC|＝2a＝10，|AB|＝2c＝6.所以＝＝＝3. 答案：3 4．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________． 解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝， 从而e＝＝. 答案： 5．(2019·兰州市诊断考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程． 解：(1)因为e＝，所以＝， 又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1， 解得a2＝4，b2＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， 因为点M，N在椭圆＋＝1上， 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4， 故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知， kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20， 故点P的轨迹方程为＋＝1. 6．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中， ∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c， 故C的离心率e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② ＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝， 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．