3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b B．(2a－b)⊥b C．|a|＝|b| D．a·b＝3 解析：选B.对于A，1×2－0×1≠0，错误；对于B，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，则2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正确；对于C，|a|＝，|b|＝2，错误；对于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误． 2．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－. 3．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D. 解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A. 4．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[2，4] C． D． 解析：选D.由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2，因为－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是. 5．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________． 解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－. 答案：－ 6．(2019·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________． 解析：因为b在a上的投影为－3， 所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为. 答案： 7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)． (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值； (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小． 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)． 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0， 解得x＝7，即b＝(1，7)， 所以|b|＝＝5. (2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3， 所以b＝(1，－3)， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以a与b夹角是. 8．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝. (3)因为与的夹角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝×4×3×＝3. [综合题组练] 1．(2019·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　) A．0 B． C．－4 D．4 解析：选C.＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒||＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C. 2．(2019·陕西质检(一))已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选B. 由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2. 3．(2019·武汉市武昌区调研考试)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________． 解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0. 因为||＝||，所以|x|＝|y|，所以x＝－y. 因为＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)， 所以·＝－x(2－x)－(y－1) ＝x2－2x－y＋1 ＝x2－x＋1 ＝＋， 所以当x＝时，·取得最小值，为. 答案： 4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若对任意的单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________． 解析：由题意得，|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤，所以|a＋b|≤，所以|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以a·b≤，即a·b的最大值是. 答案： 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影． 解：(1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 所以cos A＝－.因为0<A<π， 所以sin A＝＝＝. (2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1. 故向量在方向上的投影为 ||cos B＝ccos B＝1×＝. 6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点． (1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值． 解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)， 由题意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝＋， 所以当t＝时，|＋|有最小值，为. (2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因为θ∈，所以≤2θ＋≤， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1. 所以当θ＝时，m·n取得最小值为1－.