2 第2讲　函数的单调性与最值　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 解析：选C.对于A，当x>0时，f(x)＝3－x为减函数； 对于B，当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数， 当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数； 对于C，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数； 对于D，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数． 2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　) A．[1，2] B．[－1，0] C．[0，2] D．[2，＋∞) 解析：选A.由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]． 3．已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选B.由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞)．因为函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2.故选B. 4．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　) A．－1 B．1 C．6 D．12 解析：选C.由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 当1<x≤2时，f(x)＝x3－2. 因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 5．函数f(x)＝的最大值为________． 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 6．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________． 解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)． 答案：[0，1) 7．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在上的值域是，求a的值． 解：(1)证明：任取x1>x2>0， 则f(x1)－f(x2)＝－－＋ ＝，因为x1>x2>0， 所以x1－x2>0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f(x)在上为增函数， 所以f＝－2＝， f(2)＝－＝2， 解得a＝. 8．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1. 综上所述，a的取值范围为(0，1]． [综合题组练] 1．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．[1，3) 解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1≤a＜3.故选D. 2．(应用型)已知函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是(　　) A．(0，10) B．(10，＋∞) C. D.∪(10，＋∞) 解析：选C.因为g(lg x)>g(1)，g(x)＝－f(|x|)， 所以－f(|lg x|)>－f(1)，所以f(|lg x|)<f(1)． 又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以|lg x|<1，所以－1<lg x<1， 所以<x<10. 3．已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是________． 解析：函数y＝＝＝－1，且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；根据题意x∈(m，n]时y的最小值为0，所以－1≤m＜2. 答案：[－1，2) 4．(创新型)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 解析：依题意，h(x)＝ 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数， 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案：1 5．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． 解：f(x)＝x＋， 当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数， 所以g(a)＝f(0)＝； 当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0，1]上为减函数， 所以g(a)＝f(1)＝a； 当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1. 所以g(a)＝，所以g(a)在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a＝＝1， 所以当a＝1时，g(a)取最大值1. 6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 解：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0， 所以b＝a＋1，所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. 因为对任意实数x均有f(x)≥0恒成立， 所以　　所以 所以a＝1，从而b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1， 所以F(x)＝ (2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. 因为g(x)在[－2，2]上是单调函数， 所以≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6. 故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .