3 第3讲　函数的奇偶性及周期性　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　) A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求． 2．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　) A．－ B．－ C.　　　 D. 解析：选B.因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－. 3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解析：选A.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即bx＝－bx，得b＝0.所以g(x)＝2ax3＋bx2＋9x＝2ax3＋9x，g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax2＋9x)＝－g(x)．所以g(x)为奇函数．故选A. 4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为(　　) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C.f(x)的图象如图． 当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)； 当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅. 当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)． 故x∈(－1，0)∪(1，3)． 5．(2019·山西八校第一次联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________． 解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以f＝f， 又2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝， 所以f＝. 答案： 6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝________． 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2， 所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1. 答案：－1 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)． 解：(1)定义域要求≥0，所以－1<x≤1， 所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)不具有奇偶性． (2)因为函数的定义域为R， 又因为f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋]＋loga(x＋) ＝loga(－x)＋loga(＋x) ＝loga[(－x)(＋x)] ＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0. 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 8．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)<－. 解：(1)因为f(x)是奇函数， 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0， 又因为当x>0时，f(x)＝， 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝. (2)f(x)<－，当x>0时，即<－， 所以<－， 所以>，所以3x－1<8， 解得x<2，所以x∈(0，2)． 当x<0时，即<－， 所以>－， 所以3－x>32，所以x<－2， 所以不等式的解集是(－∞，－2)∪(0，2)． [综合题组练] 1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称， 又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(2x－1)<f， 所以|2x－1|<，所以<x<. 2．(2019·益阳、湘潭调研试卷)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 解析：选B.定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝403＋0＋1＋1＝405，故选B. 3．(创新型)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________． 解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________． 解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 5．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R， 所以f(x)是偶函数． (2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x)＝f(－x)＝x； 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 6．(应用型)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值； (3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值． 解：(1)由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋3)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数． 故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数， 所以a＝0.