5 第5讲　函数的图象与性质的综合　新题培优练.doc

[基础题组练] 1．下列函数中，是奇函数且在(0，1)内是减函数的是(　　) ①f(x)＝－x3；②f(x)＝；③f(x)＝－sin x；④f(x)＝xe|x|. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 解析：选A.对于①，f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，且在(0，1)内，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，故①满足题意；对于②，f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)是偶函数，故②不满足题意；对于③，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，且在(0，1)内，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，故③满足题意；对于④，f(－x)＝－xe|－x|＝－xe|x|＝－f(x)，但f(x)在(0，1)内是增函数，故④不满足题意．综上，选A. 2．函数f(x)＝的图象大致是(　　) 解析：选C.因为f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B.因为f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)在R上是增函数，排除D.故选C. 3．若偶函数y＝f(x)为R上周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________． 解析：因为y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)， 所以f(x)＝x2＋(1－a)x－a，1－a＝0. 所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)． f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1. 答案：－1 4．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________． 解析：在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)． 答案：(－1，0) 5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4) ＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)， 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4. 6．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0， (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值． 解：(1)f(x)＝ 其图象如图． (2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是. (3)由图象知，当>1，即a>2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a； 当0<≤1，即0<a≤2时， 所求最小值f(x)min＝f＝－. 综上，f(x)min＝ [综合题组练] 1．已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析：选D.因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3.故选D. 2．(2019·长春质量检测(二))定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)>0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－2，－1)∪(0，＋∞) 解析：选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<x<1时，f(x)<0；当x>1时，f(x)>0.由奇函数性质可得，当x<－1时，f(x)<0；当－1<x<0时，f(x)>0.因为f(x＋1)>0，所以x＋1>1或－1<x＋1<0，解得x∈(－2，－1)∪(0，＋∞)． 3．(2019·贵阳第一学期检测)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：选A.因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误．易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A. 4．已知函数f(x)在[0，4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)<f(4)<f(5) B．f(2)<f(5)<f(4) C．f(5)<f(4)<f(2) D．f(4)<f(2)<f(5) 解析：选B.因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0，4]上是增函数，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(5)<f(4)．故选B. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________． 解析：由题意得f(x)＝f(6－x)＝－f(x－6)，即f(x－6)＝－f(x)，则f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为12.故f(2 018)＝f(12×168＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝1. 答案：1 6．(2019·广州五校联考)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，因为f(3－a2)<f(2a)，所以3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案：(－3，1) 7．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： 令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数， 所以f(x－1)<2，等价于f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1. 所以x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}． 8．(综合型)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，求这四个根的和． 解：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)， 即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 并且是周期为8的周期函数． 因为f(x)在[0，2]上是增函数， 所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上是减函数． 据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)： 其图象也关于直线x＝－6对称， 所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.