第3讲　等比数列(1).doc

第3讲　等比数列 一、填空题 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，给出下列结论： ①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列； ②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列； ③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列； ④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列． 其中正确的是________(填序号)． 解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列． 答案　③ 2．(2017·苏北四市调研)在等比数列{an}中，已知a2·a5＝－32，a3＋a4＝4，且公比为整数，则a10＝________. 解析　设等比数列{an}的公比为q(q∈Z)，且a2·a5＝a3·a4＝－32，a3＋a4＝4，解得a3＝－4，a4＝8，q＝＝－2，则a10＝a4q6＝8×(－2)6＝512. 答案　512 3．(2015·全国Ⅱ卷改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________. 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42. 答案　42 4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________. 解析　由解得或 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 答案　－7 5．(2017·南京、盐城模拟)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________. 解析　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)． 即(S20－10)2＝10(70－S20)， 故S20＝－20或S20＝30， 又S20＞0， 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80. S40＝150. 答案　150 6．(2017·扬州中学模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________． 解析　两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3. 答案　3 7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4. 答案　4 8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________. 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8. 答案　8 二、解答题 9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1. (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝. 10．(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 解　(1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴Sn＝，∴Sn＝ (2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾． 故数列{an＋1}不是等比数列． 11．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________. 解析　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. 答案　14 12．(2017·盐城中学模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________. 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1， ∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1， 又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1， 故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)． 答案　(9n－1) 13．(2017·南京、盐城模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________． 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由an>0得q>0，Sn>0.又S6－2S3＝(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝S3q3－S3＝5，则S3＝，由S3>0，得q3>1，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝S3q6＝＝，令＝t，t∈(0,1)，则－＝t－t2＝－2＋∈，所以当t＝，即q3＝2时，－取得最大值，此时S9－S6取得最小值20. 答案　20 14．(2015·江苏卷节选)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列； (2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由． (1)证明　因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列， (2)解　不存在，理由如下： 令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)． 假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列， 则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4. 令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4， 化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入(*)式， t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0， 则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立． 因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列.