第2讲　四种命题和充要条件(1).doc

第2讲　四种命题和充要条件 1．(2015·山东卷改编)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________． 解析　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”． 答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 答案　充要 3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β ”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　m⊂α，m∥β α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β ”的必要不充分条件． 答案　必要不充分 4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案　2 5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0， 即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立． ∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件． 答案　充分不必要 6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0. 又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0. 因此2a＝0，故a＝0. 所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件． 答案　充要 7．给出以下结论： ①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”． 则其中错误的是________(填序号)． 解析　③中命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0， 即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．①②④均正确． 答案　③ 8．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<3 1<x<2. 所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件． 答案　充分不必要 9．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是________． 解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1. 答案　[1，＋∞) 10．(2017·南京模拟)已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立． 当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立． 答案　必要不充分 11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}． ∵p是q的充分不必要条件，∴MN， ∴解得0<a<3. 答案　(0,3) 12．下列命题中的真命题是________(填序号)． ①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． 解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确． 答案　②③ 13．(2016·四川卷改编)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2 x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以p. 因此p是q的充分不必要条件． 答案　充分不必要 14．(2017·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)． 解析　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1. 由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m<1. 因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件． 答案　必要不充分 15．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． 解析　A＝＝{x|－1＜x＜3}， ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2. 答案　(2，＋∞) 16．(2016·泰州模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)． ①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件； ②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”； ③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题； ④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0. 解析　①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误． 对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确． 对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误． 对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32， ∴log32与log23不互为相反数，故④错误． 答案　②