专题15 不等式选讲（解析版）.docx

专题15 不等式选讲 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）因为，又，故有 ． 所以． （2）因为为正数且，故有 =24． 所以． 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当a=1时，． 当时，；当时，． 所以，不等式的解集为． （2）因为，所以． 当，时，． 所以，的取值范围是． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且． （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或． 【答案】（1）；（2）见详解． 【解析】（1）由于 ， 故由已知得， 当且仅当x=，y=–，时等号成立． 所以的最小值为． （2）由于 ， 故由已知， 当且仅当，，时等号成立． 因此的最小值为． 由题设知，解得或． 【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式． 【答案】． 【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<； 当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解； 当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1． 综上，原不等式的解集为． 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数． （1）解不等式； （2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）不等式等价于或或 解得或． （2）对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域． ，由图可得时，，所以的值域为． ，当且仅当与异号时取等号， 所以的值域为， 由题，所以，解得． 【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题． 6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数，不等式的解集为． （1）求实数a的值； （2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】（1）由得－4≤≤4，即－2≤≤6， 当>0时，，所以，解得＝1； 当<0时，，所以，无解． 所以实数的值为1． （2）由已知＝|x＋1|＋|x－2|＝， 不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2， 由题意知函数的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象， 由图得，当t<0时，t≤kAM；当t>0时，t≥kBM， 又因为kAM＝－1，， 所以t≤－1或， 即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题． 7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，若的最小值为，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），即 或， ∴实数的取值范围是． （2）∵，∴，∴， 易知函数在单调递减，在单调递增， ∴． ∴，解得． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等． 8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数． （1）若的最小值为1，求实数的值； （2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围． 【答案】（1）或4．（2）． 【解析】（1）当时，， 因为的最小值为3，所以，解得或4． （2）当时，即， 当时，，即， 因为不等式的解集包含，所以且， 即，故实数的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数． （1）解不等式； （2）若，对，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）不等式等价于或或， 解得或或， 所以不等式的解集为． （2）由知，当时，， ， 当且仅当时取等号， 所以，解得．故实数的取值范围是． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求证：． 【答案】（1）或（2）见解析 【解析】（1）当时，不等式为， 当时，原不等式可化为，解得， 当时，原等式可化为，解得，不满足，舍去； 当时，原不等式可化为，解得； 不等式的解集为或． （2）即，解得， 而解集是，所以， 解得，从而． 于是只需证明， 即证， 因为 所以，证毕． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题． 11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当a=1时，， 可得的解集为； （2）当时， ， 因为， 所以． 所以，所以． 所以a的取值范围是[–3，–1]． 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知不等式，得， 当时，绝对值不等式可化为，解得，所以； 当时，绝对值不等式可化为，解得，所以； 当时，由得，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为． （2）要使函数的定义域为， 只需的最小值大于0即可． 又，当且仅当时取等号． 所以只需，即． 所以实数的取值范围是． 【点睛】绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，， 所以等价于或或． 解得或，所以不等式的解集为； （2）由（1）可知，当时，取得最小值， 所以，即， 由柯西不等式得， 整理得， 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型． 14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知设函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，证明：）． 【答案】（1）；（2）详见解析． 【解析】（1），不等式，即， 当时，， 当时，， 当时，， ∴解集为； （2）， ∵，∴， ∴ ． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数，且． （1）若，求的最小值； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，（当且仅当时取等号），所以， 即的最小值为； （2）因为， 所以 ， 故结论成立． 【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题． 16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数，其中实数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的值． 【答案】（1）不等式的解集为；（2） 【解析】（1）当时，可化为， 由此可得或， 故不等式的解集为； （2）法一：（从去绝对值的角度考虑） 由，得， 此不等式化等价于或， 解得或， 因为，所以不等式组的解集为， 由题设可得，故． 法二：（从等价转化角度考虑） 由，得，此不等式化等价于， 即为不等式组，解得， 因为，所以不等式组的解集为， 由题设可得，故． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破） 因为是不等式的解集，所以是方程的根， 把代入得，因为，所以． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小． 17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x，y满足x+y=1． （1）解关于x的不等式； （2）证明：． 【答案】（1）．（2）见解析． 【解析】（1）∵，且，， ∴， ， 解得，所以不等式的解集为． （2）解法1：∵，且， ∴ ． 当且仅当时，等号成立． 解法2：∵，且， ∴ ，当且仅当时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．