专题03 导数及其应用-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）.doc

专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好 C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． 【试题解析】由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B 1．平均变化率 函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】见解析. 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为 A． B． C．或 D．或 【错解】设，由定义得f ′(2)=12， ∴所求切线方程为，即. 【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论． 【试题解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为. ②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上，∴，∴，∴， ∴，解得或x0=2(舍去)， ∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 【参考答案】D 1．导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率. 2．曲线的切线的求法 若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点是切点时，切线方程为； （2）当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程． 2．过点作曲线的切线，则切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解. 易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数： （1）； （2）. 【错解】（1）； （2）. 【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 1．导数计算的原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法 ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；学科网 ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 3．若函数满足，则的值为 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】令x=1,则 故答案为A. （1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数且的导数公式，与的导数，与的导数及积与商的导数公式记混弄错． （2）本题中要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解． 易错点4 区分复合函数的构成特征 求下列函数的导数： （1）； （2）. 【错解】（1）； （2）. 【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，，，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导． 【试题解析】解法一：（1）∵，∴. （2）∵，∴. 解法二：（1）． （2）. 【参考答案】（1）；（2）. 1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 4．曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】，所以斜率为，切线方程为 易错点5 审题不细致误 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围． 【错解】（1）∵，∴，∴. ∴， 令，得或，令，得， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）∵在定义域上为增函数，∴恒成立， ∵，∴恒成立， ∴，∴，即实数a的取值范围是. 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分． 【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数的定义域为(0，+∞)． ∵， ∴， ∴. ∴， 令，得或，令，得， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）若在定义域上是增函数，则对x>0恒成立， ∵， ∴需x>0时恒成立，即对x>0恒成立． ∵，当且仅当x=1时取等号， ∴，即实数a的取值范围是. 【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 用导数求函数的单调区间的“三个方法”： 1．当不等式(或)可解时， ①确定函数的定义域； ②求导数； ③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程可解时， ①确定函数的定义域； ②求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； ④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式(或)及方程均不可解时， ①确定函数的定义域； ②求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号； ③得单调区间． 5．已知函数. （1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）. 【解析】（1），而，即，解得. （2）函数的定义域为. ①当时，，的单调递增区间为； ②当时，. 当变化时，的变化情况如下: 由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3），于是. 因为函数在上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 又因为函数的定义域为， 所以有在上恒成立. 于是有在上恒成立， 设，则， 所以有，， 当时，有最大值， 于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是. 若的单调减区间为，则在的两侧函数值异号，且； 若在区间上单调递减，则在上恒成立． 易错点6 极值的概念理解不透彻 已知在处有极值，则________. 【错解】或 由题得，，由已知得解得或，所以等于或. 【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况． 【试题解析】由题得，，由已知得解得或，所以等于或. 当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意. 当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去. 综上可知，，所以. 【参考答案】 对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根． 1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数极值的方法： ①确定函数的定义域． ②求导函数． ③求方程的根． ④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．学！科网 3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 6．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C （1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论； （2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，，才可确定在处取得极值． （3）在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况. 易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误 由抛物线与直线及y=0所围成图形的面积为 A． B． C． D． 【错解】D 由得，由得， 由得或(舍去)． ∴所求面积，故选D. 【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误． 【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示， 由得或(舍去)，所以抛物线与直线的交点坐标为(2,4)， 方法一：(选y为积分变量) . 方法二：(选x为积分变量) . 【参考答案】C 用定积分求较复杂的平面图形的面积时： 一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限； 二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数； 三要找准原函数． 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． 2．定积分与曲边梯形的面积的关系 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定： 设阴影部分面积为S,则 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 7．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，又， ，豆子落在图中阴影部分的概率为. 故选A. 在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是． 一、导数的概念及计算 1．导数的定义：. 2．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 求曲线的切线方程的类型及方法 （1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程． （5）①在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上. ②过点的切线即切线过点，不一定是切点．因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是 否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C为常数) = f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x 4．导数的运算法则 （1）. （2）. （3）. 5．复合函数的导数 复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二、导数的应用 1．函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内： ①如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; ②如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; ③如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． （1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条 件.例如，函数在定义域上是增函数，但. （3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内 的单调性. 2．函数的极值与导数的关系 一般地，对于函数， ①若在点x= a处有f ′(a)= 0，且在点x= a附近的左侧，右侧，则称x= a为f(x)的极小值点；叫做函数f (x)的极小值. ②若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x= b为f(x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值． ③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系 ①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； ②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； ③函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数在(a,b)内的极值； ②将函数的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 三、定积分与微积分基本定理 1．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点，作和式；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即= . （2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）(k为常数)； （2）； （3）(其中a<c<b)． 3．定积分的几何意义 （1）当函数f (x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x= a，x= b(a≠b)，y= 0和曲线y= f (x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x= a，x= b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． 定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即. （2）变力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功. 4．微积分基本定理 一般地，如果f (x)是区间[a,b]上的连续函数，且F′(x)= f (x)，那么= F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)−F(a)记作，即= F(b)−F(a)． 常见的原函数与被积函数的关系 （1）为常数)； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 1．[2018新课标全国Ⅰ理科]设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 2．[2017新课标全国Ⅱ卷理]若是函数的极值点，则的极小值为 A． B． C． D．1 3．[2017新课标全国Ⅲ卷理]已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 4．函数的图象大致是 A． B． C． D． 5．已知函数是自然对数的底数），则的极大值为 A． B． C．1 D． 6．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且，则不等式的解集是 A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于 A．−3 B．1 C．3 D．5 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 9．若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是 A． B．[0,2] C． D． 10．两曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为 A． B． C． D． 11．设函数，若存在，使，则的取值范围是 A． B． C． D． 12．[2018新课标全国Ⅱ理科]曲线在点处的切线方程为__________． 13．[2018新课标全国Ⅲ理科]曲线在点处的切线的斜率为，则________． 14．[2018新课标全国Ⅰ理科]已知函数，则的最小值是_____________． 15．[ 2016新课标全国Ⅲ卷理]已知f (x)为偶函数，当时，,则曲线y=f (x)在点(1,−3)处的切线方程是_______________. 16．[2018新课标全国Ⅰ理科]已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 17．[2018新课标全国Ⅱ理科]已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 18．[2017新课标全国Ⅰ卷理]已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 19．设函数. （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （2）若在上为减函数，求的取值范围. 20．已知函数，为自然对数的底数. （1）求函数的最小值；学！科网 （2）若对任意的恒成立，求实数的值； （3）在（2）的条件下，证明：. 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