专题06 三角函数及解三角形（解析版）.docx

专题06 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确． 当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点：；当时， ，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误． 当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确． 综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B， 故选A． 图1 图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确； ②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误； ④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以， 因为在上有5个零点， 所以当k=5时，，当k=6时，，解得， 故④正确. ③函数=sin（）的增区间为：，. 取k=0， 当时，单调递增区间为， 当时，单调递增区间为， 综上可得，在单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵为奇函数，∴； 又∴， 又，∴， ∴，故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性质逐步得出的值即可. 7．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________． 【答案】 【解析】函数，周期为. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】由余弦定理得，所以，即， 解得（舍去）， 所以， 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 9．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由，得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 10．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________． 【答案】， 【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而, ，，所以. . 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得． 由余弦定理得． 因为，所以． （2）由（1）知，由题设及正弦定理得， 即，可得． 由于，所以，故 ． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1）B=60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得． 因为sinA0，所以． 由，可得，故． 因为，故，因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得． 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而． 因此，△ABC面积的取值范围是． 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 13．【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （1）求b，c的值； （2）求sin（B–C）的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由余弦定理，得 . 因为， 所以. 解得. 所以. （2）由得. 由正弦定理得. 在中，∠B是钝角， 所以∠C为锐角. 所以. 所以. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得． （2）由（1）可得，从而，，故 ． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 15．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为， 由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. 16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）. 【解析】解法一： （1）过A作，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.' 因为PB⊥AB， 所以. 所以. 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知， 从而，所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设为l上一点，且，由（1）知，B=15， 此时； 当∠OBP>90°时，在中，. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）. 解法二： （1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为. 因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为， 直线PB的方程为. 所以P（−13，9），. 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：. 在线段AD上取点M（3，），因为， 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（−13，9）； 当∠OBP>90°时，在中，. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）. 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 17．【2019年高考浙江卷】设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有， 即， 故， 所以． 又，因此或． （2） ． 因此，函数的值域是． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 18．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点， 所以， 因此.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果. 19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知，，则 A． B．7 C． D． 【答案】C 【解析】，∴， ， 则.故选C． 【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求tanα，然后根据两角差的正切公式即可求解． 20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，所以，解得， 将函数的图象向左平移个单位， 得到的图象，故选C． 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象易知，，，即，且，即， 由图可知，所以，即， 又由图可知，周期，且， 所以由五点作图法可知， 所以函数， 因为，所以函数关于对称， 即有，所以可得， 所以的最小正值为. 故选B. 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由易知的图象关于对称，即可求得a的值. 22．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，则 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， ∵，∴， 即，即，则， ∵，∴，∴，即， 则， 故选D． 【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可． 23．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， 由正弦定理可得：， ∵，∴，即， ∵，∴.故选D． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由，可得，再由正弦定理得到，结合，即可求得的值． 24．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在中，、、分别是内角、、的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， ∴由正弦定理可得： ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵，，的面积为， ， ∴， ∴由余弦定理可得：， 即，解得：， ∴的周长为. 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合，可求． （2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的周长的值． 25．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数. （1）求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1；（2）. 【解析】（1） ， 所以. （2）因为， 所以， 所以. 由不等式恒成立，得，解得. 所以实数的取值范围为. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可； （2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c的不等式组，求解不等式组可得c的取值范围.