专题06 数列-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）(1).doc

易错点1 忽略了n的取值 已知数列满足，求数列的通项公式． 【错解】由，可得两式相除可得． 【错因分析】仅适用于且时的情况，故不能就此断定就是数列的通项公式． 【试题解析】当时，；当时，由，可得两式相除可得，故 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通项公式． (2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an. (4)形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋. 若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； 若p≠r，则采用(3)的办法来求． (5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项． (6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子， 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，① 得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，② 再由①－②可得an. (7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可． (8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可． (9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列． 具体步骤：对an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以an＋1an，得到－＝q，即 －＝－q， 令bn＝，则{bn}是首项为，公差为－q的等差数列. (10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列． 具体步骤：对an＝pa两边同取常用对数，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，则{bn}可归为an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型. 1．数列的前项和满足，则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【解析】∵数列的前项和， ∴当时，， 又∵当时，，故，故答案为. 【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法：和步骤是解答本题的关键．由已知中的前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式． 易错点2 忽略数列中为0的项 设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，，则当最大时，__________． 【错解】由，得，即，由可知，解不等式组即得．又，故当时最大． 【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项． 【试题解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式组即得．故当或时最大． 【正解2】由，可得，所以，由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大． 【正解3】由，得，即，，由可知，故当或时最大． 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1．等差数列的前n项和与函数的关系 等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn. 当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足 (2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足 3．求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． (3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个． 4．在等差数列中，若，，则（1）为偶数当时最大；（2）为奇数当或时最大． 2．等差数列中，，，记，则当__________时，取得最大值. 【答案】4 【解析】在等差数列中，，，，即，，，，由，得，即，当时，，当，因此在中，当时，，当时，，故当时，取得最大值，故答案为. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算，属于难题.求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，即，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值. 错点3 忽视奇数项或偶数项的符号 在等比数列中，，求的值. 【错解】因为为等比数列，所以，由可得，故.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【试题解析】因为为等比数列，所以，由可得，故 ．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以． 1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立． 3．已知等比数列中，，则 A． B．−2 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为等比数列中，，所以，所以， 因此=，因为，同号，所以 故选C. 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 应用等比数列性质时的注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用. 易错点4 忽视q=1致错 在数列中，若，求的前n项和． 【错解】 . 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列. 【试题解析】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，． 综上，. 1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并． 3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 4．各项均为正数的数列的首项，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，① 所以当时，，② 得：，即， 因为的各项均为正数， 所以，且， 所以． 由①知，，即， 又因为， 所以， 所以． 故， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 所以． （2）由（1）得， 所以， 所以，③ ，④ ，得， 当且时，，解得； 当时，由③得； 综上，数列的前项和． 【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. （2）数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法. 1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 来完成； (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10 无穷数列 项数无限的数列，如数列1，2，3，4，… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，… 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，… 常数列 各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，… 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，… 3．数列的表示方法 （1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法， ①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即． ②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用表示，记作，则通项． 若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得． 令，，则，其中，为常数． （1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列． （2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前n项和 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是函数的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 7．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列． 8．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 9．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，． （4）若数列共有项，则，． （5），． 10．等比数列的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）数列仍是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列． （4）成等比数列，公比为． （5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列． （6）当时，；当时，． （7）． （8）若项数为，则，若项数为，则． （9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 11．求和常用方法 方法1→错位相减法求和的注意点 在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点： ①乘数（式）的选择； ②对公比q的讨论（是否为1）； ③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数． 方法2→裂项相消法求和的注意点 在应用裂项相消法求和时应注意： （1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差； （2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项． 方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤 利用分组求和法解题的步骤： ①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和； ③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题． 1．[2018北京文]设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B. 【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质. 2．公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，则的值为 A．15 B．21 C．23 D．25 【答案】D 【解析】依题意， ，其中； ， 故选D． 3．设为等比数列的前项和，，则 A． B． 或 C． D． 或 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，∵， ∴，且，即. 令， ，且. ∴，即.∴或（舍去）.即. ∴. 故选C． 4．设正项等比数列的前项和为，且，若，，则= A．63或120 B．256 C．120 D．63 【答案】C 【解析】∵，∴0＜q＜1， ∵a3+a5=20，a3a5=64∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根， ∵an＞0，0＜q＜1，∴a3＞a5，∴a3=16，a5=4，∴q=，∴a1=64，a2=32，a3=16，a4=8， ∴S4=64+32+16+8=120，故选C． 5．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则 A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】A 【解析】在等比数列中，由，得，即， 又，，成等差数列，，即， 联立得：舍去或． ，则． 故选A． 【名师点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是中档题． 6．在数列{}中，已知，，则等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将等式两边取倒数得到，是公差为的等差数列，=，根据等差数列的通项公式的求法得到，故=. 故答案为B. 【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出再作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等. 7．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵{an}是递增数列，∴an+1＞an恒成立， ∵an=n2+λn，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn恒成立，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立． 而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3. 故选D． 【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将an+1和an作差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性. 8．已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由（），可得此数列为： ， 的整数项为,∴数列的各项依次为： ，末位数字分别是，∵，故的末位数字为3，故选C． 9．[2018浙江]已知成等比数列，且．若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此. 若公比，则，不合题意； 若公比，则但，即，不合题意； 因此，，故选B. 10．[2018北京文]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D. 【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 11．记为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是. 【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 12．设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 13．已知数列满足： ，若，则__________． 【答案】320 【解析】根据题意，得 ，所以是公差为1的等差数列， . 所以. 14．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为__________． 【答案】20 【解析】很明显等比数列{an}的公比q>0，q≠1. ∵， 则， ∴ 当且仅当q3=2,即时取等号. ∴S9−S6的最小值为20. 15．已知等差数列，若，，且，则公差__________． 【答案】或 【解析】若①，②， ②-①得. （1）若，显然，则 又，所以，解得，满足题意． （2）若，则 又， ，得，． 故答案为0或6． 16．[2018全国I文]已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）见解析；（3）an=n·2n-1． 【解析】（1）由条件可得an+1=． 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得，即bn+1=2bn， 又b1=1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得， 所以an=n·2n-1． 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果. 17．[2018全国Ⅲ文]等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或；（2）6. 【解析】（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 18．[2018北京文]设是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∵， ∴， 又， ∴. ∴. （2）由（1）知， ∵， ∴是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴. ∴. 【名师点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解. 19．已知等差数列满足，前项和为． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） ． 【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得，． 化简得解得故通项公式，即． （2）由（1）得．设的公比为,则,从而． 故的前项和． 20．设，，数列满足：且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）由题意知： ， 又，∴， ∴是以4为首项， 2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，故. ， ∴， ， ， …… . 累加得： ， ， 即. 而，∴. 21．[2018浙江]已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n． （1）求q的值； （2）求数列{bn}的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. （1）由是的等差中项得， 所以，解得. 由得， 因为， 所以. （2）设，数列前n项和为. 由解得. 由（1）可知， 所以， 故， . 设， 所以， 因此， 又，所以. 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________