第2章 2.3.docx

§2.3　函数的奇偶性与周期性 考情考向分析　以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 概念方法微思考 1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)． (2)f(x＋a)＝(a≠0)． (3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)． 提示　(1)T＝2|a|　(2)T＝2|a|　(3)T＝|a－b| 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P45习题T11]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案　－2 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 3．[P43练习T4]函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________. 答案　3 解析　若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3； 若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3. 故对a∈R，总有f(－a)＝3. 4．[P45习题T8]若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 答案　1 解析　∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立， ∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1. 题组三　易错自纠 5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 答案　 解析　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案　3 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)． ∴f(－1)＝3. 题型一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝36，解得x＝±6， 即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f(x)＝＋＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 跟踪训练1 (1)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________． 答案　2 解析　函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2. (2)函数f(x)＝lg|sin x|是________．(填序号) ①最小正周期为π的奇函数； ②最小正周期为2π的奇函数； ③最小正周期为π的偶函数； ④最小正周期为2π的偶函数． 答案　③ 解析　易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数， 又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数． 题型二　函数的周期性及其应用 1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________. 答案　－2 解析　f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________. 答案　－2－ 解析　由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－. 3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. 答案　6 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期为6的周期函数， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝________. 答案　－1 解析　依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， 则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. ∴f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝f ＋0＋f ＋f(0)＋f ＝f －f ＋f(0)＋f ＝f ＋f(0) ＝－1＋20－1 ＝－1. 思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　求函数值或函数解析式 例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2 021)＝________. 答案　－ 解析　设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b. 因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋b＝2a－1，解得a＝， 所以f(2 021)＝f(1)＝×1－1＝－. (2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________. 答案　 解析　∵当x>0时，－x<0， ∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， ∴f(x)＝ 命题点2　求参数问题 例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________. 答案　1 解析　∵f(－x)＝f(x)， ∴－xln(－x)＝xln(x＋)， ∴ln[()2－x2]＝0. ∴ln a＝0，∴a＝1. (2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f ，则a＋3b的值为________． 答案　－10 解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数， 所以f ＝f 且f(－1)＝f(1)， 故f ＝f ， 从而＝－a＋1， 即3a＋2b＝－2.① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝， 即b＝－2a.② 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. (3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________． 答案　[－1,0] 解析　因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时 即即－1≤a≤0. 命题点3　利用函数的性质解不等式 例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是________． 答案　(e－2，e2) 解析　根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2， 即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2)． (2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________． 答案　 解析　由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)， 由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)． 当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－， 因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|， 两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0， 解得<x<1. 所以符合题意的x的取值范围为. 思维升华　解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解． 跟踪训练2 (1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ＝________. 答案　－ 解析　由题意可知，f ＝f ＝－f＝－2××＝－. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________． 答案　f(－25)<f(80)<f(11) 解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)， 得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． 因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数， 所以f(－1)<f(0)<f(1)． 所以f(－25)<f(80)<f(11)． (3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________． 答案　(－3,2) 解析　∵g(x)是奇函数， ∴当x>0时，－x<0，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)， 易知f(x)在R上是增函数， 由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x， 即x2＋x－6<0，∴－3<x<2. 函数的性质 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断 例1 (1)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a∈R.讨论函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论． 解　方法一　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)恒成立， 即ax2－＝－ax2－， 得2ax2＝0恒成立，所以a＝0； 若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立， 即ax2－＝ax2＋，得＝0，这是不可能的． 综上所述，当a＝0时，f(x)为奇函数； 当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数． 方法二　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当a＝0时，f(x)＝，f(－x)＝－＝－f(x)， 此时f(x)为奇函数； 当a≠0时，f(－1)＝a－1，f(1)＝a＋1， 则f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)， 所以f(x)是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y＝sin3x＋3sin x; ②y＝－； ③y＝lg； ④y＝ 其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________．(填序号) 答案　②③ 解析　易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题： ①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案　①②③ 解析　由f(x)＋f(x＋2)＝0可得 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的最小正周期是4，①对； 由f(4－x)＝f(x)， 可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对． 二、函数性质的综合应用 例2 (1)(2018·全国Ⅱ改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________. 答案　2 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0， 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. (2)(2018·南京、盐城模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是________． 答案　 解析　f(ln t)＋f ＝f(ln t)＋f(－ln t) ＝2f(ln t)＝2f(|ln t|)， 于是f(ln t)＋f ≤2f(1)， 所以f(|ln t|)≤f(1)， 所以|ln t|≤1，所以－1≤ln t≤1， 所以≤t≤e. (3)(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝sin x－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________． 答案　(2,3) 解析　因为f(－x)＝sin(－x)＋x＋ ＝－sin x＋x＋＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 又因为f(x)＝sin x－x＋－2x， 所以易判断f(x)在R上单调递减， 所以f(1－x2)＋f(5x－7)<0， 即f(1－x2)<f(7－5x)， 所以1－x2>7－5x，即x2－5x＋6<0，解得2<x<3. 1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. 答案　②④ 解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证， ①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数； ②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数； ③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数； ④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数． 可知②④正确． 2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝________. 答案　－3 解析　由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1， 则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3. 3．函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”) 答案　奇 解析　f(x)的定义域为R(关于原点对称)． (1)当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)； (2)当x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3 ＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； (3)当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3 ＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)． 由(1)(2)(3)可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________. 答案　－2 解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， ∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， f ＝f ＝－f ＝＝－2， ∴f ＋f(1)＝－2. 5．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为________． 答案　∪(2，＋∞) 解析　f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0<x<. 6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是________．(用“<”连接) 答案　f(0)<f(－6.5)<f(－1) 解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2. ∵函数f(x)为偶函数， ∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的， ∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)． 7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 答案　－ 解析　函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0恒成立， 所以a＝－. 8．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f 的值为________． 答案　－ln 2 解析　由已知可得f ＝ln ＝－2， 所以f ＝f(－2)． 又因为f(x)是奇函数， 所以f ＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2. 9．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________． 答案　9 解析　由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9. 10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f ＝f ，则f(5a)的值是________． 答案　－ 解析　由已知f ＝f ＝f ＝－＋a， f ＝f ＝f ＝＝. 又∵f ＝f ，则－＋a＝，a＝， ∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－. 11．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. 经检验，m＝2符合题意． (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． (1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． 13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________. 答案　1 解析　因为f(x)>0，f(x＋2)＝， 所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝＝＝f(x)， 即函数f(x)的周期是4， 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)． 因为函数f(x)为偶函数， 所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)． 当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝. 由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1. 14．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________． 答案　(0,1)∪(3，＋∞) 解析　因为函数f(x)＝x3＋2x是奇函数，且在R上是增函数，f(1)＋>0， 所以>－f(1)＝f(－1)，所以>－1，所以或 所以a∈(0,1)∪(3，＋∞)． 15．已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为__________． 答案　 解析　易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，此时，只需即可，解得－2<x<. 16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)的值． 解　因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.