第1章 1.4.docx

§1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考情考向分析　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 概念方法微思考 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？ 提示　p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．(　√　) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　) (4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(　√　) 题组二　教材改编 2．[P11练习T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________． 答案　2 解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题． 3．[P15例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________． 答案　∀x∈N，x2>0 4．[P21测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案　真 解析　当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数． 题组三　易错自纠 5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件． 答案　充分不必要 解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件． 6．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x∈R，lg x＝1； ②∃x∈R，sin x＝0； ③∀x∈R，x3>0； ④∀x∈R,2x>0. 答案　③ 解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x<0时，x3<0，则③为假命题； 由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题． 7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________． 答案　(－∞，－2] 解析　由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2. 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)． 答案　① 解析　如图所示， 若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题． 2．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是________．(填序号) ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)． 答案　② 解析　∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0. ∴命题p为真命题，∴綈p为假命题． ∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题． ∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题． 3．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案　②③ 解析　因为对任意实数x，|sin x|≤1，而>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．故②③正确． 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p，q的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假． 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题： ①∃x∈(0，＋∞)，x<x； ②∃x∈(0,1)，； ③∀x∈(0，＋∞)，x>； ④∀x∈，x<. 其中真命题序号为________． 答案　②④ 解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题； 对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题； 对于③，当0<x<时，>1>x，故③是假命题； 对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题． 命题点2　含一个量词的命题的否定 例2　(1)命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________． 答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤2 (2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________． 答案　∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定． 跟踪训练1 (1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号) ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)． 答案　② 解析　∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②. (2)已知命题p：∃x>1,2x>4，綈p是：______________. 答案　∀x>1,2x≤4 解析　因为命题p：∃x>1,2x>4，是一个存在性命题，所以綈p是：∀x>1,2x≤4. (3)已知命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题，则a的取值范围是________． 答案　[0，＋∞) 解析　因为命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题， 所以ex＋a≥0恒成立，所以a≥(－ex)max的最大值． ∵－ex<0，∴a≥0. 题型三　命题中参数的取值范围 例3 (1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________． 答案　[e,4] 解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]． (2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________． 答案　 解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min， 得0≥－m，所以m≥. 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________． 答案　 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________. 答案　1 解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题， 所以Δ＝4－4m<0，即m>1， 故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1. (2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________． 答案　∪(1，＋∞) 解析　由命题p为真知，0<c<1， 当x∈时，2≤x＋≤， 要使x＋>恒成立，需<2，即c>， 即由命题q为真，知c>. 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， 则p，q中必有一真一假， 当p真q假时，c的取值范围是0<c≤； 当p假q真时，c的取值范围是c>1. 综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)． 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断 例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x∈R，－x2＋x－1<0； ②∀x∈R，|x|>x； ③∀x，y∈Z,2x－5y≠12； ④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0. 答案　① 解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题． (2)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)． 答案　② 解析　若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题， ∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题， ∴(綈p)∧q是真命题． 二、充要条件的判断 例2 (1)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________条件． 答案　充分不必要 解析　命题q：x2－5x＋4≥0⇔x≤1或x≥4， ∵命题p：x>4， ∴p是q的充分不必要条件． (2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的________条件． 答案　充要 解析　圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r<3，故p是q的充要条件． 三、求参数的取值范围 例3 (1)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析　因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3. (2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________． 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞) 解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1， 由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2， 因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题， 当p真q假时，m≤－2； 当p假q真时，－1<m<2； 当p假q假时，m≥2， 所以m≤－2或m>－1. 1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p∨q为真；②p∧q为真；③p真q假；④p∨q为假． 答案　④ 解析　∵p假，q假，∴p∨q为假． 2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________． 答案　∀x∈R，x2－2x＋1>0 解析　∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题， 命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为：∀x∈R，x2－2x＋1>0. 3．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为___________． 答案　∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1 解析　因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x，使x2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x，>2. 答案　② 解析　①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以④是假命题． 5．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p∧q；②(綈p)∧q；③p∨(綈q)；④(綈p)∧(綈q)． 答案　② 解析　p是假命题，q是真命题，所以②正确． 6．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q. 答案　② 解析　当a＝1.1，x＝2时， ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2， 此时，ax<logax，故p为假命题． 命题q，由等差数列的性质可知， 当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq成立， 当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题． 故綈p是真命题，綈q是假命题， 所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题． 7．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________． 答案　(－4,0] 解析　“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案　(－1,3) 解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2<a－1<2，即－1<a<3. 9．若∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　因为∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则当x∈时，f(x)∈，当且仅当x＝时，f(x)min＝2，所以λ≤2. 10．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是_________． 答案　(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析　因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0， 所以綈p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0， 则a<0或解得a<0或a>4. 11．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 答案　0 解析　若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0. 12．以下四个命题： ①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为________． 答案　0 解析　∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立， ∴①为假命题； 当且仅当x＝±时，x2＝2， ∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题； 对∀x∈R，x2＋1≥1，∴③为假命题； 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2， ∴④为假命题．∴①②③④均为假命题． 故真命题的个数为0. 13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论： ①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且綈q”是假命题； ③命题“綈p或q”是真命题； ④命题“綈p或綈q”是假命题． 其中正确结论的序号为____________． 答案　①②③④ 解析　∵命题p，q均为真命题， ∴“p且q”是真命题，“p且綈q”是假命题，“綈p或q”是真命题，“綈p或綈q”是假命题，故①②③④都正确． 14．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________． 答案　[0,2] 解析　若p∨(綈q)为假命题，则p假q真． 由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，设f(x)＝，x≠0，则f′(x)＝＝， 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x<1或x<0时，f′(x)<0，函数f(x)＝在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域是(－∞，0)∪[e，＋∞)，由p是假命题，可得0≤m<e. 当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2. 所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2. 15．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∀x2∈[2,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______________． 答案　(－∞，－3] 解析　由题意知f(x)min≥g(x)max(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以5≥8＋a，即a≤－3. 16．已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________． 答案　 解析　∀x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立， 当x＝时，max＝，∴min＝，∴由p真得m<. 设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1. 又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假， 则或解得≤m<1. 故所求实数m的取值范围是.