第2章 2.4.docx

§2.4　幂函数与二次函数 考情考向分析　以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件． 提示　a>0且Δ≤0. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　) (3)函数是幂函数．(　×　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　) 题组二　教材改编 2．[P89练习T3]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________. 答案　 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 3．[P40练习T3]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－3] 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a， 由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧， ∴－2a≥6，解得a≤－3. 题组三　易错自纠 4．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a＝________. 答案　5 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， (a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5. 5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______． 答案　－1 解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1， ∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减， ∴ymin＝2－6＋3＝－1. 6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案　> 解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0. 题型一　幂函数的图象和性质 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是________． 答案　(－∞，0) 解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)． 2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是______．(用“>”连接) 答案　a>b>c>d 解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d. 3．若，则实数a的取值范围是____________． 答案　(－∞，－1)∪ 解析　不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 4．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则不等式f(|x|)≤2的解集是________. x 1 f(x) 1 答案　[－4,4] 解析　由题意知，＝α， ∴α＝，∴f(x)＝，∴f(|x|)＝， 由≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4. 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二　求二次函数的解析式 例1 (1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝x2－2x＋3 解析　由f(0)＝3，得c＝3， 又f(1＋x)＝f(1－x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴＝1，∴b＝2， ∴f(x)＝x2－2x＋3. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案　x2＋2x 解析　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1， 得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 答案　x2＋2x＋1 解析　设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)， 又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 答案　x2－4x＋3 解析　因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 题型三　二次函数的图象和性质 命题点1　二次函数的图象 例2 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________． 答案　[0,2] 解析　二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0， 又由－＝1得图象的对称轴是直线x＝1，所以a>0. 所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f(0)＝f(2)， 则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 命题点2　二次函数的单调性 例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________． 答案　[－3,0] 解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知 解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]． 引申探究 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________. 答案　－3 解析　由题意知f(x)必为二次函数且a<0， 又＝－1，∴a＝－3. 命题点3　二次函数的最值 例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值． 解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. (1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； (3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 综上可知，a的值为或－3. 引申探究 将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2， ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. (1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5， (2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a， 综上，f(x)max＝ 命题点4　二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________． 答案　(－∞，－1) 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1. (2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________． 答案　2 解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路的关键都是求函数的最值或值域． 跟踪训练2 (1)(－6≤a≤3)的最大值为________． 答案　 解析　易知函数y＝(3－a)(a＋6)的两个零点是3，－6，图象的对称轴为a＝－∈[－6,3]，y＝(3－a)(a＋6)的最大值为y＝·＝2，则的最大值为. (2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________． 答案　－1或3 解析　由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4， 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1， 即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1. (3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　由题意得a>－对1<x<4恒成立， 又－＝－22＋，<<1， ∴max＝，∴a>. 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论． 例 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，f(x)min＝ 1．幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为________． 答案　2 解析　∵(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2－4m<0，即0<m<4. 又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z， ∴m2－4m为偶数，∴m＝2. 2．若幂函数在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________． 答案　1 解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0， 解得m＝1. 3．(2019·江苏省扬州中学月考)若函数f(x)＝x2－2ax－1在(－∞，5]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　[5，＋∞) 解析　由题意可得－≥5，解得a≥5. 4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________． 答案　 解析　由题意知即解得a>. 5．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a＝________. 答案　2或－1 解析　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2. 6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2) 解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)， 所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2. 7．已知P＝，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________． 答案　P>R>Q 解析　P＝＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且>>，得3>3>3，即P>R>Q. 8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________． 答案　f(x)＝－4x2－12x＋40 解析　设f(x)＝a2＋49(a≠0)， 方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2， 则|x1－x2|＝2 ＝7， 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40. 9．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_________． 答案　[7，＋∞) 解析　函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7. 10．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________． 答案　[0,4] 解析　令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4. 11．已知函数(k∈Z)满足f(2)<f(3)． (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式； (2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)∵f(2)<f(3)， ∴－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2. ∵k∈Z，∴k＝0或k＝1. 当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2， ∴f(x)＝x2. (2)假设存在q>0满足题设，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得． 而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0， ∴g(x)max＝＝， g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2.∴存在q＝2满足题意． 12．(2018·江苏省如皋中学考试)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)． (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝x，m>0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值． 解　(1)因为图象与y轴的交点坐标为(0,1)，所以c＝1， 因为f(1－x)＝f(1＋x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋1. (2)因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2， 所以g(x)＝x|x－1|＝ 作出函数g(x)的图象如图所示． 当0<m≤时，g(x)max＝g(m)＝m－m2； 当<m≤时，g(x)max＝g＝； 当m>时，g(x)max＝g(m)＝m2－m， 综上，g(x)max＝ 13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b. 其中正确的是________．(填序号) 答案　①④ 解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0， 即b2>4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确． 14．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 答案　(－∞，－5] 解析　方法一　∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立， ∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，即m<－对x∈(1,2)恒成立， 令y＝x＋，x∈(1,2)，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数． ∴4<y<5，∴－5<－<－4，∴m≤－5. 方法二　设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时， 由f(x)<0恒成立，得 解得即m≤－5. 15．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________． 答案　[－2,0] 解析　当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m， 此时φ(x)单调递增，则－≤1，即m≥－2. 综上，实数m的取值范围是[－2,0]． 16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 解　f(x)＝(x－a)2＋a－a2， 当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数， ∴由得a＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时，由得a＝－1； 当0<a≤1时，由得a不存在； 综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.