2020年高考数学一轮(江苏理) 高考专题突破5 第1课时 范围、最值问题.docx

高考专题突破五　高考中的解析几何问题 第1课时　范围、最值问题 题型一　范围问题 例1 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围． 解　(1)设F(c,0)，由＋＝， 即＋＝，可得a2－c2＝3c2. 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设直线l的斜率为k(k≠0)， 则直线l的方程为y＝k(x－2)． 设B(xB，yB)，由方程组消去y， 整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0. 解得x＝2或x＝. 由题意得xB＝，从而yB＝. 由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)， 有＝(－1，yH)，＝. 由BF⊥HF，得·＝0， 所以＋＝0，解得yH＝. 因此直线MH的方程为y＝－ x＋. 设M(xM，yM)，由方程组 消去y，解得xM＝. 在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得MA≤MO， 即(xM－2)2＋y≤x＋y， 化简，得xM≥1，即≥1， 解得k≤－或k≥. 所以直线l的斜率的取值范围为 ∪. 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． (1)证明　设P(x0，y0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以y1，y2为方程2＝4·， 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根． 所以y1,2＝， 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴． (2)解　由(1)可知 所以PM＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 所以△PAB的面积 S△PAB＝PM·|y1－y2|＝. 因为x＋＝1(－1≤x0<0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]， 所以△PAB面积的取值范围是. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型二　最值问题 命题点1　利用三角函数有界性求最值 例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是________． 答案　4 解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝×＝≥4. 命题点2　数形结合利用几何性质求最值 例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 答案　 解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为. 命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b. (1)求椭圆C的离心率； (2)若点M 在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值． 解　(1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2， 结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)， 即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0， 结合0<e<1，解得e＝. 所以椭圆C的离心率为. (2)由(1)得a＝2c，则b2＝3c2. 将M 代入椭圆方程＋＝1，解得c＝1. 所以椭圆方程为＋＝1. 易得直线OM的方程为y＝ x. 当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点不在直线y＝ x上，故直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由题意得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1,2＝， 所以x1＋x2＝－， 因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， 所以线段AB的中点N的坐标为， 因为点N在直线y＝ x上， 所以－＝2×， 解得k＝－. 所以Δ＝48(12－m2)>0，解得－2<m<2，且m≠0， AB＝ |x2－x1| ＝. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝×× ＝≤· ＝. 当且仅当12－m2＝m2，即m＝±时等号成立， 符合－2<m<2，且m≠0. 所以△OAB面积的最大值为. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 跟踪训练2 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称． (1)求实数m的取值范围； (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0. 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(xM，yM)， 则x1,2＝， 即x1＋x2＝＝， x1x2＝＝， 所以xM＝＝，yM＝－xM＋b＝， 将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，② 由①②得m<－或m>. (2)令t＝∈∪，则t2∈. 则AB＝· |x1－x2| ＝· ， 且O到直线AB的距离为d＝. 设△AOB的面积为S(t)， 所以S(t)＝AB·d＝ ≤， 当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈. 故△AOB面积的最大值为. 1．已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 解　(1)由题意，得椭圆C的标准方程为＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2， 因此a＝2，c＝. 故椭圆C的离心率e＝＝. (2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以· ＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 又x＋2y＝4， 所以AB2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4(0<x≤4)． 因为＋≥4(0<x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，所以AB2≥8. 故线段AB长度的最小值为2. 2．(2018·无锡模拟)已知椭圆＋＝1，过点B作直线l与椭圆交于另一点C，求△OBC面积的最大值． 解　由题意知直线OB的方程为y＝x，即3x－2y＝0. 设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为y＝x＋b， 则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大． 联立消去y， 整理得3x2＋3bx＋b2－3＝0，由Δ＝9b2－12(b2－3)＝0， 解得b＝±2. 当b＝2时，C； 当b＝－2时，C. 所以△OBC面积的最大值为× ×＝. 3．(2018·常州中学月考)如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限． (1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. (1)解　设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)， 由 消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0， 即b2－m2＋a2k2＝0， 解得点P的坐标为. 又点P在第一象限，且m2＝b2＋a2k2， 即m＝， 故点P的坐标为. (2)证明　由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0， 所以点P到直线l1的距离 d＝， 整理得d＝ . 因为a2k2＋≥2ab， 所以≤＝a－b， 当且仅当k2＝时等号成立． 所以点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，MA＝λMB，且当直线l垂直于x轴时，AB＝. (1)求椭圆C的方程； (2)当λ∈时，求弦长AB的取值范围． 解　(1)由已知e＝，得＝，① ∵当直线垂直于x轴时，AB＝， ∴椭圆过点， 代入椭圆方程得＋＝1，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③可得a2＝2，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当过点M的直线的斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合题意． ∴直线l的斜率不能为0. 设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线的方程代入椭圆方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 显然方程有两个不同实数解． ∴y1,2＝， ∴ 将④式平方除以⑤式可得＋＋2＝－， 由已知MA＝λMB可知，＝－λ， ∴－λ－＋2＝－， 又λ∈，∴－λ－＋2∈， ∴－≤－≤0，解得m2∈. AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝(1＋m2)(y1－y2)2 ＝82＝82， ∵m2∈，∴∈， ∴AB∈. 故弦长AB的取值范围是. 5．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值． 解　(1)由题意，得 解得则b＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题可设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，k>0， 则M(0,4k)， 所以直线FN的方程为y＝(x－2)， 则N. 联立消去y并整理， 得(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0， 解得x1＝－4，x2＝，所以P， 直线AN的方程为y＝－(x＋4)， 同理可得，Q， 所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点． 所以△APQ的面积S＝OA·(yP－yQ)＝2×＝≤8， 当且仅当2k＝，即k＝时，取等号． 所以△APQ的面积的最大值为8. 6．已知圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点． (1)求椭圆的方程； (2)若· <0，求m的取值范围． 解　(1)∵圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过点F，B， ∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝， ∴a2＝b2＋c2＝6，椭圆的方程为＋＝1. (2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m>， 由消去y， 整理得2x2－2mx＋(m2－6)＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－6)>0，解得－2<m<2. ∵m>，∴<m<2. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1,2＝， 所以x1＋x2＝m，x1x2＝， ∴y1y2＝· ＝x1x2－(x1＋x2)＋. ∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， ∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝. 又·<0，即<0，解得0<m<3. 又<m<2，∴<m<3. 故m的取值范围是(，3)．