2020年高考数学一轮(江苏理) 第12章 12.2 第2课时 参数方程.docx

第2课时　参数方程 考情考向分析　了解参数的意义，重点考查直线参数方程及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题的形式考查，属于低档题． 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 抛物线 y2＝2px(p>0) (t为参数) 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　√　) (2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．(　√　) (3)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　√　) (4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　×　) 题组二　教材改编 2．[P56习题T2(2)]曲线(θ为参数)的对称中心为________． 答案　(－1,2) 解析　由得 所以曲线对应的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)． 3．[P57习题T6]已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值． 解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－； 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2. ∵l1与l2垂直，∴×(－2)＝－1，解得k＝－1. 题组三　易错自纠 4．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率． 解　将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3. 5．设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范围． 解　由曲线C：(θ为参数)， 得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆． 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤， 所以的取值范围为. 6．已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值． 解　由ρsin＝3，可得ρ＝3， ∴y－x＝6，即x－y＋6＝0. 由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2， ∴圆心到直线l的距离d＝＝3. ∴P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5. 题型一　参数方程与普通方程的互化 1．(2018·江苏省南京师大附中等四校联考)已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数)相交于A，B两点，求A，B两点的距离． 解　曲线C的普通方程为＋＝1， 直线l的普通方程为y＝－x＋3， 由解得或 设A(2,0)，B， ∴AB＝＝. 即A，B两点的距离为. 2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值． 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)． 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 则PA＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝. 当sin(θ＋α)＝－1时，PA取得最大值，最大值为. 当sin(θ＋α)＝1时，PA取得最小值，最小值为. 思维升华 消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数． (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 题型二　参数方程的应用 例1 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)． (1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a. 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1. 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 由 解得或 从而C与l的交点坐标是(3,0)，. (2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝. 当a≥－4时，d的最大值为 . 由题设得＝，所以a＝8； 当a<－4时，d的最大值为. 由题设得＝， 所以a＝－16. 综上，a＝8或a＝－16. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决． (2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题． 跟踪训练1 已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)． (1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程； (2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标． 解　(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数)， 直线l的普通方程为x－y＋9＝0. (2)设P(2cos θ，sin θ)， 则AP＝＝2－cos θ， P到直线l的距离 d＝＝. 由AP＝d，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－. 故P. 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 例2 (2018·镇江期末)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，且曲线C上的点M(2，)对应的参数φ＝，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的普通方程； (2)若曲线C上的A，B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B，求＋的值． 解　(1)将M(2，)及对应的参数φ＝， 代入(a>b>0，φ为参数)， 得∴ ∴曲线C1的普通方程为＋＝1. (2)曲线C1的极坐标方程为＋＝1， 将A(ρ1，θ)，B， 代入得＋＝1，＋＝1， ∴＋＝. 思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想． 跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值． 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)． 所以AB＝|2sin α－2cos α|＝4. 当α＝时，AB取得最大值，最大值为4. 1．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程． 解　∵直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0， ∴原点到直线l的距离d＝＝1. ∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1. 2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin＝2，求曲线C1与曲线C2的交点个数． 解　曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y－4＝0，联立消去y，得x2＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C1与曲线C2的交点个数为2. 3．(2018·江苏省苏州市第五中学模拟)已知点P在曲线C：(θ为参数)上，直线l：(t为参数)，求P到直线l的距离的最小值． 解　将直线l化为普通方程为x－y－6＝0， 则P(4cos θ，3sin θ)到直线l的距离 d＝＝， 其中tan φ＝. 所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmin＝， 即点P到直线l的距离的最小值为. 4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长． 解　直线l的参数方程化为普通方程为x－y－＝0， 椭圆C的参数方程化为普通方程为x2＋＝1， 联立方程组 解得 不妨取A(1,0)，B， 则AB＝＝. 5．(2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围． 解　由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x2＋y2＝4y， 即圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4， 又由消去t，得x－y＋m＝0， 由于直线l与圆C相交，所以<2，即－2<m<6. 6．(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为 (s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． 解　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0， 因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)， 从而点P到直线的距离 d＝＝， 当s＝时，dmin＝. 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值. 7．在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m. (1)当m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系； (2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围． 解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆， 直线l的直角坐标方程为x＋y＝0， 圆心C到直线l的距离d＝＝＝r， 所以直线l与圆C相切． (2)由已知可得，直线l的直角坐标方程为x＋y－m＝0. 圆心C到直线l的距离为d＝≤， 解得－1≤m≤5. 所以实数m的取值范围为[－1,5]． 8．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系； (2)求曲线C1与C2的交点的极坐标． 解　(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，可得直线l过点(－1,1)． 当直线l的斜率为2时，直线l的普通方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋3＝0. 由曲线C1的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得(x－2)2＋(y－4)2＝4， 则曲线C1表示以(2,4)为圆心，以2为半径的圆． 此时圆心到直线的距离d＝＝<2，故直线l与曲线C1相交． (2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 即ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0， 由得 故C1与C2交点的坐标为(2,2)， 故C1与C2的交点的极坐标为. 9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足＝2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝. (1)求曲线C2的普通方程，射线l的参数方程； (2)射线l与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求AB. 解　(1)设P(x，y)，M(x′，y′)， ∵＝2，∴ ∵点M在曲线C1上，∴ ∴(x′－1)2＋(y′)2＝3， 故曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12. 由射线l：θ＝，可得l的参数方程为(t为参数且t≥0)． (2)方法一　将l：(t为参数且t≥0)代入C1的方程得t2－t－2＝0，∵t≥0，∴t＝2. 同理代入C2的方程得t2－2t－8＝0， ∵t≥0，∴t＝4. ∴AB＝4－2＝2. 方法二　曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0， 将θ＝代入，得ρ＝2，∴A的极坐标为， 曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0， 将θ＝代入，得ρ＝4，∴B的极坐标为， ∴AB＝4－2＝2. 10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求实数m的值． 解　(1)因为直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)， 所以直线l的普通方程为x－y－m＝0. 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ，故ρ2＝6ρcos θ， 所以x2＋y2＝6x， 所以曲线C的直角坐标方程是(x－3)2＋y2＝9. (2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝2， 又d＝＝2， 所以|3－m|＝4，即m＝－1或m＝7. 11．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4·sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求PA·PB的值． 解　(1)因为ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x2＋y2－4x－4y＝0， 即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8； 直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0. (2)把直线l的参数方程代入到圆C： x2＋y2－4x－4y＝0中， 得t2－(4＋5)t＋33＝0， t1,2＝，则t1t2＝33. 点P(－2，－3)显然在直线l上． 由直线标准参数方程下t的几何意义知， PA·PB＝|t1t2|＝33，所以PA·PB＝33. 12．已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的普通方程； (2)若点A(ρ1，θ)，B，C在曲线C上，求＋＋的值． 解　(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)． 又曲线C的普通方程为＋＝1， 所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1. (2)因为点A(ρ1，θ)，B，C在曲线C上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)， B， C在曲线C上， 故＋＋＝＋＋ ＝＋ ＝ ＋ ＝×＋×＝.