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1988考研数学一、二、三答案 (1).pdf
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考研路的加油站 1988考研数学一、二、三答案 1 1988 考研 数学 答案 公众 加油站
1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学(试卷一)数 学(试卷一)一一(本题满分本题满分 15 分,每小题分,每小题 5 分分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.解:解:因11(3)1(1)3limlim33,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn故131 063xx即时,幂级数收敛.3 分 当0 x 时,原级数成为交错级数1(1)nnn,是收敛的 4 分 当6x 时,原级数成为调和级数11nn,是发散的.5 分 所以,所求的收敛域为0,6.(2)已知 f(x)=e2x,f()x=1-x 且(x)0.求(x)并写出它的定义域.解:解:由2()1xex,得()ln(1)xx.3 分 由ln(1)0 x,得1x即0 x.5 分 所以()ln(1)xx,其定义域为(,0).(3)设 S 为曲面1222zyx的外侧,计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333.解:解:根据高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,有 2223()Ixyz dv(其中是由S所围成的区域)2 分 21220003dsindrrdr4 分 125.5 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 2 页 二、填空题:二、填空题:(本题满分本题满分 12 分,每小题分,每小题 3 分分)(1)若 f(t)=xlimttxx2)11(,则()f t2(21)tte(2)设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在区间1,1上的定 f(x)=01,210,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于23.(3)设 f(x)是连续函数,且103,)(xxdttf则 f(7)=112.(4)设 4*4 矩阵 A=),(4,3,2,B=),(4,3,2,其中,432,均为 4 维列向量,且已知行列式,1,4BA则行列式BA=.40.三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分,每小题分,每小题 3 分分)(1)若函数 y=f(x)有21)(0 xf,则当0 x时,该函 x=0 x处的微分 dy 是 (B)(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程042 yyy的一个解,若()0f x,且0)(0 xf,则函数()f x在点0 x(A)(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域22221:Rzyx,;0z及22222:Rzyx,0,0,0zyx则(C)(A)124xdvxdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)若nnxa)1(1在 x=-1 处收敛,则此级数在 x=2 处(B)(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk.(B)12,s 中任意两个向量都线性无关.(C)12,s 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四四(本题满分本题满分 6 分分)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 3 页 设)()(xyxgyxyfu,其中 f,g 具有二阶连续导数,求222uuxyxx y.解:解:.uxyyyfggxyxxx2 分 22231.uxyyfgxyyxx3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y.6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数 y=y(x)满足微分方程,223xeyyy 且图形在点(0,1)处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合,求函数).(xyy 解:解:对应齐次方程的通解为212xxYCeC e.2 分 设原方程的特解为*,xyAxe3 分 得2A.4 分 故原方程通解为2212()2xxxy xCeC exe.5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy 7 分 即12121,21cccc解得121,0cc.8 分 所以2(1 2)xyx e六、六、(本题满分本题满分 9 分分)设位于点(0,1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数,r 为质点 A 与 M 之间的距离),质点 M 沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0,0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功.解:解:0,1MAxy 2 分 22(1).rxy因引力f 的方向与MA 一致,故3,1kfxyr.4 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 4 页 从而3(1)BOkWxdxy dyr6 分 1(1)5k.9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分)已知PBAP,其中112012001,100000001PB求 A 及5A.解:解:先求出1100210411P.2 分 因PBAP,故1100100100210000210211001411APBP100100100200210200201411611.4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个()()()=.6 分八、八、(本题满分本题满分 8 分分)已知矩阵xA10100002与10000002yB相似,(1)求 x 与 y;(2)求一个满足BAPP1的可逆矩阵P.解:解:(1)因A与B相似,故|EAEB,即 1 分 200200010001001yx,亦即22(2)(1)(2)(1)xyy.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A,200010001B.3 分(2)从B可以看出A的特征值2,1,1.4 分 对2,可求得A的特征向量为1100p .对1,可求得A的特征向量为2011p .对1,可求得A的特征向量为3011p.7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的特征向量故它们线性无关.令123100(,)011011p ppP,则P可逆,且有BAPP1.8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分)设函数)(xf在区间ba,上连续,且在),(ba内有0)(xf.证明:在),(ba内存在唯一的,使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍.证:存在性证:存在性 在,a b上任取一点t,令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()()()()3()()()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则()F t在,a b上连续.又因0)(xf,故()f x在,a b上是单调增加的.于是在(,)a b内取定点c,有()3()()3()()3()()bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 113()()3()()()0,bcf xf a dxff abccb .幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 6 页()()()()()()()bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx()()caf bf x dx22()()()0,f bfcaac.5 分 所以由介值定理知,在(,)a b内存在,使0)(F,即.321SS 6 分 唯一性唯一性 因()()()3()0F tf ttabt,8 分 故)(tF在(,)a b内是单调增加的.因此,在(,)a b内只有一个,使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分,每个分,每个 2 分分)(1)设三次独立实验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719,则事件A在一次试验中出现的概率为13.(2)在区间)1,0(中随机地取两个数,则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3)设随机变量X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221,9938.0)5.2(,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为0.9876.十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)设随机变量X的概率密度函数为)1(1)(2xxfx,求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY.解:解:因Y的分布函数()()YFyP Yy1 分 33311(1)PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx.4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)()1(1)YdyFydyy.6 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 7 页 数 学(试卷二)数 学(试卷二)一一(本题满分本题满分 15 分,每小题分,每小题 5 分分)(1)【同数学一 第一、(1)题】(2)【同数学一 第一、(2)题】(3)【同数学一 第一、(3)题】二、填空题:二、填空题:(本题满分本题满分 12 分,每小题分,每小题 3 分分)(1)【同数学一 第二、(1)题】(2)【同数学一 第二、(2)题】(3)【同数学一 第二、(3)题】(4)【同数学一 第二、(4)题】三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分,每小题分,每小题 3 分分)(1)【同数学一 第三、(1)题】(2)【同数学一 第三、(2)题】(3)【同数学一 第三、(3)题】(4)【同数学一 第三、(4)题】(5)【同数学一 第三、(5)题】四四(本题满分本题满分 18 分,每小题分,每小题 6 分分)(1)【同数学一 第四题】(2)计算dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin.解:解:dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin221sin2yyxdydxy3 分 212coscos22yy dy.4 分 33284cos()(2)2yttdtt 令.6 分幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 8 页(3)求椭球面2132222zyx上某点 M 处的切平面的方程,使平面过已知直线2121326:zyxl.解:解:令222(,)2321,F x y zxyz则2,4,6.xyzFx Fy Fz椭球面在点000(,)M x y z处的切平面的方程为 0000002()4()6()0 x xxy yyz zz,即0002321x xy yz z.2 分 因为平面过直线 L,故 L 上的任两点,比如点17(6,3,)(0,0,)22A、B应满足的方程,代入有000366212xyz(1)02z (2)又因 2220002321,xyz (3)于是有0000003,0,21,2,2xyzxyz及.4 分 故所求切平面的方程为274+621xzxyz和6 分 五、(本题满分五、(本题满分 8 分)分)【同数学一 第五题】六、(本题满分六、(本题满分 9 分)分)【同数学一 第六题】七、(本题满分七、(本题满分 6 分)分)【同数学一 第七题】八、(本题满分八、(本题满分 8 分)分)【同数学一 第八题】九、(本题满分九、(本题满分 9 分)分)【同数学一 第九题】幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 9 页 数 学(试卷三)数 学(试卷三)一、填空题一、填空题(本题满分本题满分 20 分,每小题分,每小题 4 分分)(1)若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数,则1.(2)【同数学一 第二、(1)题】(3)【同数学一 第二、(3)题】(4)01lim()tgxxx1.(5)40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题(本题满分本题满分 20 分,每小题分,每小题 4 分分)(1)162131)(23xxxxf的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是(A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若)(xf与)(xg在),(上皆可导,且)(xf)(xg,则必有(C)(A)()()fxgx(B)()()fxg x(C)00lim()lim()xxxxf xg x(D)00()()Xxf t dtg t dt(3)【同数学一 第二(1)题】(4)曲线)0(sin23xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43(C)223(D)23【B 】(5)【同数学一 第三(5)题】三、三、(本题满分本题满分 15 分,每小题分,每小题 5 分分)(1)【同数学一第一、(2)题】(2)已知xyxey1,求0 xy及0 xy.解:解:显然0 x 时,1y.1 分 2()(1)xyxyxyyxexyyeex yxy.2 分 因此001xye;3 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 10 页 而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy,4 分 即得000|2xyee.5 分(3)求微分方程)1(112xxyxy的通解(一般解).解:解:1121(1)dxdxxxyeedxCx x3 分 2111dxCxx4 分 1arctanxCx,其中 C 是任意常数.5 分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)作函数4262xxy的图形,并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)(区间 凸)(区间 拐 点 渐近线 解:解:单调增加区间(,1)(1 分)单调减少区间(1,)(2 分)极值点 1(3 分)极值 2(4 分)凹区间(,0)(2,)及(6 分)凸区间(0,2)(7 分)拐点 33(0,)(2,)22及(9 分)渐进线 0y(10 分)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 11 页 其图形为:五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?解:解:设圆形的周长为x,则正方形的周长为ax,而两面积之和为 222244216816axxaaAxx,3 分 4088aAx(令),得4ax.5 分 408A.7 分 故当圆的周长为4ax时,正方形的周长为44aax时,A 之值最小.8 分 六、六、(本题满分本题满分 10 分分)【同数学一 第五题(分值不同)】七、七、(本题满分本题满分 7 分分)设1x,求 dttx)1(1.解:解:当10 x 时,11(1|)(1)xxt dtt dt1 分 211(1)2xt2 分 21(1)2x.3 分 当0 x 时,0110(1|)(1)(1)xxt dtt dtt dt5 分 211(1)2x.7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 12 页 设)(xf在),(上有连续导数,且Mxfm)(.(1)求dtatfatfaaaa)()(41lim20;(2)证mMxfdttfaaa)()(21)0(a.解:解:(1)由积分中值定理和微分中值定理有 201lim()()4aaaf taf ta dta01lim()()2afafaa()aa2 分*00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.4 分(2)证:证:由()f x的有界性及积分估值定理有5 分 1()2aamf t dtMa,6 分 又()Mf xm ,7 分 故有 1()()()2aaMmf t dtf xMma,即 1()()2aaf t dtf xMma.8 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 13 页 数 学(试卷四)数 学(试卷四)一、填空题(本题满分一、填空题(本题满分 12 分,每空分,每空 1 分)分)(一一)已知函数xdtexfxt,)(0212.(1))(xf221te.(2))(xf的单调性:单调增加 .(3))(xf的奇偶性:奇函数.(4))(xf图形的拐点:(0,0)(5))(xf图形的凹凸性:0 x 时上凹(下凸),0 x 时下凹(上凸).(6))(xf图形的水平渐近线近线:,22yy(二二)11101101101101113.(三三)100010010010010000001001001001000(四)假设()0.4()0.7P AP AB,那么(1)若 A 与 B 互不相容,则 P(B)=0.3.(2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B)=0.5.二、(本题满分二、(本题满分 10 分)(每小题,回答正确得分)(每小题,回答正确得 2 分,回答错误得分,回答错误得-1 分,不回答得分,不回答得 0 分;全题最低得分;全题最低得 0 分)分)(1)若极限)(lim0 xfxx与)(lim0 xfxx)(xg都存在,则极限)(lim0 xgxx必存在.()(2)若0 x是函数)(xf的极值点,则必有0)(0 xf.()(3)等式aadxxafdxxf00,)()(对任何实数a都成立.()(4)若 A 和 B 都是n阶非零方阵,且 AB=0,则 A 的秩必小于n.()幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 14 页(5)若事件 A,B,C 满足等式,ACBC 则 A=B.()三、(本题满分三、(本题满分 16 分,每小题分,每小题 4 分分.)(1)求极限11limlnxxxxx解一:解一:此极限为00型未定式,由罗必塔法则,则 11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式.4 分 解二:解二:令lntxx,则xtxe.由于当1x 时,0t,可见001=limlim1tttteet原式.4 分(2)已知xyeu,求yxu2.解:解:由于11uuuyuxxeye,2 分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3 分 311(1)uuuxyeee 4 分(3)求定积分)1(30 xxdx.解一:解一:由于2()dxdxx,可见原式302=1dxx2 分 23.4 分 解二:解二:令2,2xtxt dxtdt,;当0 x 时,0t;当3x 时,3t;1 分 于是,3202=1dtt原式2 分 302arctanx3 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 15 页 23.4 分(4)求二重积分660cosyxdydxx.解:解:在原式中交换积分次序,得 原式600cosxxdxdyx2 分 60=cosxdx601=sin2x4 分.四、(本题满分分,每小题分)四、(本题满分分,每小题分)(1)讨论级数11)!1(nnnn的敛散性 解:解:由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn,有11limlim21111(11)nnnnnneuunn,2 分 故由级数收敛的比值判别法,知11)!1(nnnn收敛.3 分(2)已知级数12na和2ii nb都收敛,试证明级数1nnnba绝对收敛.证:证:由于级数12na和2ii nb都收敛,所以2211()2iinab收敛.2 分 而221()2n nnna bab,故由比较判别法,知级数1|nnna b收敛,即1nnnba绝对收敛.3 分 五、(本题满分五、(本题满分 8 分)分)已知某商品的需求量和供给量都是价的函数:2()aDD pp,()SS pbp,其中a0和b0是常数:价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdkdtdpk是常数),假设当 t=0 时价格为 1.试求:(1)需求量等于供给量时的均衡价格eP;(2)价格函数)(tp;(3)极限)(limtpt.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 16 页 解:解:(1)当需求量等于供给量时,有2abpp,即3apb.故13()eapb.1 分(2)由条件知322()()dpabak D pS pkbpkpdtppb.因此有332edpbkppdtp,即233ep dpkbdtpp.3 分 在该式两边同时积分得333kbteppce.5 分 故由条件(0)1P,可得31ecp.于是价格函数为3333()(1)kbteep tpp e.6 分(3)13333lim()lim(1)kbteeettp tpp ep8 分 六、(本题满分六、(本题满分 8 分)分)在曲线2(0)yx x上某点 A 处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112,试求:(1)切点 A 的坐标;(2)过切点 A 的切线方程;(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解:解:设切点 A 的坐标为2(,)a a,则过点 A 的切线方程的斜率为|2x aya,切线方程为22()yaa xa,即22yaxa.2 分 可见,切线与x轴的交点为2(0)2a.故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx.4 分 而由题设知112S,因此1a.5 分 于是,切点 A 的坐标为(1,1),过切点(1,1)的切线方程为21yx.6 分 旋转体的体积为112 22102()(21)30Vxdxxdx.8 分 七、(本题满分七、(本题满分 8 分)分)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 17 页 已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxxxxxxxxxxx,问1k和2k各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷解?在方程组有无穷解的情景下,试求出一般解.解:解:以A表示方程组的系数矩阵,以(|)A B表示增广矩阵,因121112331361(|)331151510 12kkA B1211123101214002250003kk 2 分 故当12k 时,()(|)4RRAA B,方程组有唯一解;3 分 当12k 时,有2211112311231101210121(|)42000200015100030000kkA B4 分 这时,若21k,则()3(|)4RRAA B,故方程组无解;若21k,则()(|)34RRAA B,故方程组有无穷多组解,此时有 6 分 1123 11004 01000801211012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx,取3xc(c为任意常数),得方程组的一般解:12348,3 2,2xxc xc x.8 分 综上所述:当12k 时,方程组有唯一解;当12k 而21k 时,方程组无解;当12k 且21k 时,方程组有无穷多组解,其一般解为12348,3 2,2xxc xc x,其中c为任意常数.八、(本题满分八、(本题满分 7 分)分)已知向量组1,2,sa aa(S2)线性无关,设11222311,ssssaaaaaaa,幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 18 页 讨论向量组12,s 的线性相关性.解:解:假设12,sk kk是一数组,满足条件11220sskkk1 分 那么,有111221()()()0sssskkkkkk.由于,2,1saaa线性无关,故有1122310000ssskkkkkkkk (*)3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式:110001110002,1(1)011000,00011sD 若s为奇数若s为偶数5 分 若s为奇数,则20D,故方程组(*)只有零解即12,sk kk必全为 0.这时,向量组12,s 线性无关若s为偶数,则0D,故方程组(*)有非零解,即存在不全为 0 的数组12,sk kk,使11220sskkk.这时,向量组12,s 线性相关,7 分 九、(本题满分九、(本题满分 6 分)分)设 A 是三阶方阵,A是 A 的伴随矩阵,A 的行列式.21A求行列式 AA2)3(1的值.解:解:因 111(3)3AA 2 分 故*111|2AA AA,3 分 所以 311111122(3)2|333AA AAAA5 分 1627.6 分 十、(本题满分十、(本题满分 7 分)分)玻璃杯成箱出售,每箱 20 只,假设各箱含 0,1,2 只残次品的概率是8.0,0.1 和 0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客开箱随机观察 4 只,若无幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 19 页 残次品,则购买下该玻璃杯,否则退回.试求:(1)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率.解:解:设iB箱中恰有 i 件残品次品(0,1,2i),A顾客买下所察看的一箱.1 分 由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B;419014204(|)1,(|)5CP A BP A BC;418242012(|)19CP A BC.3 分(1)由全概率公式200.41 2()()(|)0.80.94519iiiP AP B P A B;5 分(2)由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A BP BAP A7 分 十一、(本题满分十一、(本题满分 6 分)分)某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占 20%,以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出 X 的概率分布;(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理,求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.解:解:(1)X服从二项分布,参数100,0.2np,其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100)kkkP XkCk.2 分(2)由(,)XB n p知,20,(1)16EXnpDXnpp,4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理,有 14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5 分(2.5)(1.5)(2.5)1(1.5)0.9941 0.9330.927.6 分 十二、(本题满分十二、(本题满分 6 分)分)假设随机变量 X 在区间(1,2)上服从均匀分布.试求随机变量xeY2的概率密度 f(y).解:解:由条件知,X的密度函数为1,12()0,xp x若其他1 分 记()F yP Yy为Y的分布函数,则有 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 20 页 21ln242140,2(),31,4yyeF ydxeyeye若 分若 分若 分因此22440,1()(),20,yef yF yeyeyye若若若于是(当24,ye e时,补充定义()0f y),得2441,2()0eyeyf yye若若.6 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 21 页 数 学(试卷五)数 学(试卷五)一、一、【同数学四 第一题】二、二、【同数学四 第二题】三、(本题满分三、(本题满分 16 分,每小题分,每小题 4 分分.)(1)求极限xtgxx2)1(lim21.解:解:211limcot2xxx原式1 分 212limsin22xxx3 分 4.4 分(2)已知xyue,求yxu2.解:解:1xyuexy,1 分 22211xxyyuxeex yyyy 3 分 3.xyxyey 4 分(3)【同数学四 第三、3)题】(4)【同数学四 第三、(4)题】四、(本题满分四、(本题满分 6 分)分)确定常数a和b,使函数2,1(),1axb xf xxx,处处可导.解:解:当1x 时,显然()f x可导;1 分 为使1x 时,导数()fx存在,()f x在1x 处必须连续,故有(1 0)(1 0)(1)fff,2 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 22 页 由此可得1ab.3 分 又由(1 0),(1 0)2,fa f4 分 以及()f x在1x 处的可导性,有(1 0)(1 0)ff.由此得2a,5 分 从而1b .6 分 五、(本题满分五、(本题满分 8 分分.)【同数学三 第五题】六、(本题满分六、(本题满分 8 分分.)【同数学四 第六题】七、(本题满分七、(本题满分 8 分分.)【同数学四 第七题】八、(本题满分八、(本题满分 6 分分.)已知n阶方阵 A 满足矩阵方程0232EAA,其中 A 给定而 E 是单位矩阵.证明 A 可逆,并求出其逆矩阵1A.解一:解一:由2320AAE,可见232AAE,(3)2A AEE.在上式两端同取行列式,得|(3)|2|A AEE;|(3)|2|20nAAEE3 分由此可见|0A,从而 A 可逆.4 分在(3)2A AEE两端同时左乘112A,得11(3)2AAE.6 分解二:解二:由2320AAE,可见232AAE 从而有1(3)2AAEE及1(3)2AEAE.3 分 记1(3)2B AE,则ABBAE.由逆矩阵的定义知A可逆,且B是A的逆矩阵:11(3)2ABAE.6 分 九、(本题满分九、(本题满分 7 分分.)【同数学四 第八题】十、(本题满分十、(本题满分 7 分分.)【同数学四 第十题】十一、(本题满分十一、(本题满分 7 分)分)假设有十只同种电器元件,其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只,如是废品,则倒掉重新任取一只;若仍是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的分布,数学期望和方差.解:解:以X表示在取到正品前已取出的废品数.知X是一随机变量,其有 3 个可能的取值:0,1,2.1 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1988 年 第 23 页(1)分布:800.810P X;2 88110 945P X;2 1 81210 9 845P X.4 分(2)数学期望:8120 0.8 1245459EX .5 分(3)方差:222281400.8 12454515EX,6 分 2288()405DXEXEX.7 分 十二、(本题满分十二、(本题满分 5 分分.)【同数学四 第十二题 分值不同】幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】,信受奉行,必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台

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