2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析.doc

2018年硕士研究生入学考试 数学一 试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1） 下列函数不可导的是： （2） （3） （4）），则M,N,K的大小关系为 （5）下列矩阵中，与矩阵相似的为______. A. B. C. D. （6）.设，为阶矩阵，记为矩阵的秩，（ ） 表示分块矩阵，则 A. B. C. D. （7）设为某分部的概率密度函数，，，则 . A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 （8）给定总体，已知，给定样本，对总体均值进行检验，令，则 A . 若显著性水平时拒绝，则时也拒绝. B. 若显著性水平时接受，则时拒绝. C. 若显著性水平时拒绝，则时接受. D. 若显著性水平时接受，则时也接受. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）则 （10）的图像过（0,0），且与相切与（1,2），求 （11） （12）曲线S由相交而成，求 （13）二阶矩阵A有两个不同特征值，是A的线性无关的特征向量， （14）A,B独立，A,C独立，= 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）.求不定积分 （16）.一根绳长2m，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。 （17）.取正面，求 （18）微分方程 （I）当时，求微分方程的通解. （II）当为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数. （19）数列，，.证：收敛，并求. （20）设实二次型其中a是参数， （I）求的解 （II）求的规范形 （21）已知a是常数，且矩阵可经初等变换化为矩阵 （I）求a （II）求满足的可逆矩阵P （22）随机变量相互独立，，，服从的泊松分布. （1）求. （2）求得概率分布. （23）来自总体的分布，（未知，）. （1）求得极大似然估计. （2）求，. 2018考研数学一答案解析 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 （1）【答案】D 【解答】由定义得； . （2）【答案】B 【解答】已知平面过（1,0,0）（0,1,0）两点，可得切平面内一向量（1，-1,0）,曲面的切平面法向量为（） 即. （3）【答案】B . （4）【答案】C ; ; . （5）【答案】A A的特征值为，而. （6）【答案】C 由秩的定义，可知C正确 （7）【答案】A 已知可得图像关于对称，从而 (8)【答案】选. 【解答】若显著性水平时接受，可知检验统计量，此时，选. (9)【答案】 【解答】 (10)【答案】 【解答】 . (11)【答案】 【解答】. 【解答】 (12)【答案】 【解答】， . (13)【答案】 【解答】 （14）【答案】 【解答】 . 三、解答证明题 （15） . （16）解：设圆的周长为，正三角周长为，正方形的周长，由题设. 则目标函数：， 故拉格朗日函数为 . 则 ， ， ， . 解得，，，. 此时面积和有最小值 . （17）解:构造平面取后侧;设与所围区域为; 记;借助高斯公式,有: (18)(I)解：通解                  . (II)证明：设，即是的周期. 通解   . 不妨设,则有 , 即依旧是方程的通解,结论得证. (19)证明:设,则有 ,因此, 从而; 猜想,现用数学归纳法证明: 时,,成立; 假设时,有,则时有 所以; 因此,有下界. 又; 设, 时,, 所以单调递减,,即有, 因此,单调递减. 由单调有界准则可知存在. 设,则有; 因为只有唯一的零点,所以. (20)解:(I)由得 系数矩阵， 时，，方程组有唯一解：； 时，，方程组有无穷解：. (II)时,令这是一个可逆变换, 因此其规范形为; 时,      , 此时规范形为. (21)解:(I)与等价,则. 又, 所以, . (II),即解矩阵方程: 得; 又可逆,所以,即. 最终,其中为任意常数,且. 22.解：（1）由已知，，服从的泊松分布， 所以 . （2）由条件可知的取值为， ， ，， 同理，， . 23.解：（1）由条件可知，似然函数为 ， 取对数：， 求导：， 解得得极大似然估计. (2)由第一问可知，所以. . 12