2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设，当时， （ ） （A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小 （C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小 2．已知是由方程确定，则（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 ３．设，则（ ） （Ａ）为的跳跃间断点． （Ｂ）为的可去间断点．　　　　 （Ｃ）在连续但不可导． （Ｄ）在可导． ４．设函数，且反常积分收敛，则（ ） （A） （B） （C） （D） ５．设函数，其中可微，则（ ） （A） （B）（C） （D） 6．设是圆域的第象限的部分，记，则（ ） （A） （B） （C） （D） 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价． 8．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是 （A） （B），为任意常数 （C） （D），为任意常数 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． ． 10．设函数，则的反函数在处的导数 ． 11．设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 ． 12．曲线上对应于处的法线方程为 ． 13．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 ． 14．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= ． 三、解答题 15．（本题满分10分） 当时，与是等价无穷小，求常数． 16．（本题满分10分） 设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值． 17．（本题满分10分） 设平面区域D是由曲线所围成，求． 18．（本题满分10分） 设奇函数在上具有二阶导数，且，证明： （1）存在，使得； （2）存在，使得． 19．（本题满分10分） 求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数 ⑴求的最小值； ⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限． 21．（本题满分11） 设曲线L的方程为． （1）求L的弧长． （2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C． 23（本题满分11分） 设二次型．记． （1）证明二次型对应的矩阵为 ； （2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 ． 13