2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)曲线的渐近线条数( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数，其中为正整数,则( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设则有( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设是由方程所确定的隐函数，则 . (10) . (11) 设其中函数可微，则 . (12) 微分方程满足条件的解为 . (13) 曲线上曲率为的点的坐标是 . (14) 设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 已知函数，记， (I)求的值; (II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值. (16)(本题满分 10 分) 求函数的极值. (17)(本题满分12分) 过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成. (19)(本题满分10分) 已知函数满足方程及, (I) 求的表达式; (II) 求曲线的拐点. (20)(本题满分10分) 证明,. (21)(本题满分10 分) (I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分) 设， (I) 计算行列式； (II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分) 已知，二次型的秩为2， (I) 求实数的值； (II) 求正交变换将化为标准形. 14