1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析.doc

1998年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)=_____________. (2)设具有二阶连续导数,则=_____________. (3)设为椭圆其周长记为则=_____________. (4)设为阶矩阵为的伴随矩阵为阶单位矩阵.若有特征值则必有特征值_____________. (5)设平面区域由曲线及直线所围成,二维随机变量在区域上服从均匀分布,则关于的边缘概率密度在处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设连续,则= (A) (B) (C) (D) (2)函数不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3)已知函数在任意点处的增量且当时是的高阶无穷小,,则等于 (A) (B) (C) (D) (4)设矩阵是满秩的,则直线与直线 (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5)设是两个随机事件,且则必有 (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分) 求直线在平面上的投影直线的方程,并求绕轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为体积为海水密度为仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式 六、(本题满分7分) 计算其中为下半平面的上侧为大于零的常数. 七、(本题满分6分) 求 八、（本题满分5分） 设正向数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛?并说明理由. 九、（本题满分6分） 设是区间上的任一非负连续函数. (1)试证存在使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积. (2)又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的. 十、（本题满分6分） 已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程求的值和正交矩阵 十一、（本题满分4分） 设是阶矩阵,若存在正整数使线性方程组有解向量且 证明:向量组是线性无关的. 十二、（本题满分5分） 已知方程组 (Ⅰ) 的一个基础解析为试写出线性方程组 (Ⅱ) 的通解,并说明理由. 十三、（本题满分6分） 设两个随机变量相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差. 十四、（本题满分4分） 从正态总体中抽取容量为的样本,如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大? 附:标准正态分布表 1.28 1.645 1.96 2.33 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、（本题满分4分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:分布表 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式 . 方法2：采用洛必达法则. 原式 . 方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项, ,, 从而 原式 . (2)【答案】 【分析】因为具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求或均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求. , 方法2：先求. 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些： 评注：本题中,中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对求导时,视为常数；对求导时,视为常数就可以了. (3)【答案】 【解析】关于轴(轴)对称,关于(关于)为奇函数. 又在上, 因此, 原式. 【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分,设在上连续,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论： 类似地,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论： (4)【答案】 【解析】方法1：设的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有 . 由,知(如果0是的特征值),将上式两端左乘,得 , 从而有 (即的特征值为). 将此式两端左乘,得 . 又,所以,故的特征值为. 方法2：由,的特征值(如果0是的特征值),则有特征值,的特征值为；的特征值为. 【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量. 由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得. 因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值. 若,则.即若是的特征值,则 的特征值是. 2.矩阵可逆的充要条件是,且. O 1 2 (5)【答案】 【解析】首先求的联合概率密度. , 区域的面积为 其次求关于的边缘概率密度. 当或时,； 当时,. 故 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 ,, 选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则. (2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数. 由 , , 即在处可导.又 , , 所以在处不可导. 类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断： 设函数,其中在处连续,则在处可导的充要条件是. (3)【答案】(D) 【解析】由有 令得是的高阶无穷小,则, 即 . 分离变量,得 两边积分,得 ,即 代入初始条件得所以,. 故 【相关知识点】无穷小的比较： 设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 , (1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为； (3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为. 若不存在(不为),称不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设,,题设矩阵是满秩的,则由行列式的性质,可知 , 故向量组与线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在,使得,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾. 与分别为的方向向量,由方向向 量线性相关,两直线平行,可知不平行. 又由得 , 即 . 同样由,得 , 即 , 可见均过点,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C 【分析】由题设条件,知发生与不发生条件下发生的条件概率相等,即发生不发生不影响的发生概率,故相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑与是否相等,选项(C)和(D)才是事件与B是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件知 , 于是有 , 可见 . 应选(C). 【相关知识点】条件概率公式：. 三、(本题满分5分) 【解析】方法1：求直线在平面上的投影： 方法1：先求与的交点.以代入平面的方程,得 . 从而交点为；再过直线上点作平面的垂线,即 并求与平面的交点： , 交点为. 与的连接线即为所求. 方法2：求在平面上的投影线的最简方法是过作垂直于平面的平面,所求投影线就是平面与的交线.平面过直线上的点与不共线的向量 (直线的方向向量)及(平面的法向量)平行,于是的方程是 ,即. 投影线为 下面求绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程.为此,将写成参数的方程： 按参数式表示的旋转面方程得的参数方程为 消去得的方程为,即 四、(本题满分6分) 【解析】令则在单联通区域右半平面上为某二元函数的梯度在上原函数 其中, , . 由,即满足 , . 可见,当时,所给向量场为某二元函数的梯度场. 为求,采用折线法,在半平面内任取一点,比如点作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有 (折线法) (第一类换元法) (基本积分公式) 其中为任意常数. 【相关知识点】1.二元可微函数的梯度公式：. 2.定理：设为平面上的单连通区域,函数与在内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价： (1) ； (2) 为内任意一条逐项光滑的封闭曲线； (3) 仅与点有关,与连接什么样的分段光滑曲线无关； (4) 存在二元单值可微函数,使 (即为某二元单值可微函数的全微分； (5) 微分方程为全微分方程； (6) 向量场为某二元函数的梯度. 换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数. 五、(本题满分6分) 【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：,浮力的大小：；阻力：,则由牛顿第二定律得 (*) 由,代入(*)得与之间的微分方程 . 分离变量得 , 两边积分得 , (第一类换元法) . 再根据初始条件即 . 故所求与函数关系为 六、(本题满分7分) 【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含,因此不能立即加、减辅助面,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简： 添加辅助面,其侧向下(由于为下半球面的上侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有 第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于的方向向下；另外由曲面片在平面投影面积为零,则,而上,则. , 其中为与所围成的有界闭区域,为在面上的投影. 从而, 第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式. 方法2：逐项计算： 其中, 第一个负号是由于在轴的正半空间区域的上侧方向与轴反向；第二个负号是由于被积函数在取负数. 为在平面上的投影域,用极坐标,得 其中为在平面上的投影域.故 【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数 、、在上具有一阶连续偏导数,则有 或 这里是的整个边界曲面的外侧,、、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 七、(本题满分6分) 【分析】这是项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限. 当各项分母均相同是时,项和式 是函数在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分求得极限. 【解析】由于, 于是, . 由于 , 根据夹逼定理知,. 【相关知识点】夹逼准则：若存在,当时,,且有,则. 八、(本题满分5分) 【解析】方法1：因正项数列单调减少有下界0,知极限存在,记为,则且. 又发散,根据莱布尼茨判别法知,必有(否则级数收敛). 又正项级数单调减少,有而,级数收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数也收敛. 方法2：同方法1,可证明.令则 根据根值判别法,知级数也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法： 设交错级数满足： (1) (2) 则收敛,且其和满足余项 反之,若交错级数发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2),所以有(否则级数收敛) 2.正项级数的比较判别法： 设和都是正项级数,且则 (1)当时,和同时收敛或同时发散； (2)当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散； (3)当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散. 3.根值判别法： 设,则当 九、(本题满分6分) 【解析】(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理： , 又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,,使. (2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的. 评注：若直接对使用零点定理,会遇到麻烦： . 当时,对任何的结论都成立； 当时,但,若,则难以说明在内存在.当直接对用零点定理遇到麻烦时,不妨对的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数满足 (1) 在闭区间上连续； (2) 在开区间内可导； (3) 在区间端点处的函数值相等,即, 那么在内至少有一点(),使得. 十、(本题满分6分) 【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为,则存在正交矩阵,使得 , 即相似. 由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵有特征值从而, 从而, 当时, 于是得方程组的同解方程组为 ,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为 当时, , 于是得方程组的同解方程组为 ,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为 当时, , 于是得方程组的同解方程组为 ,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为 由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知相互正交. 将单位化,得 因此所求正交矩阵为. 评注：利用相似的必要条件求参数时,是比较好用的一个关系式.亦可用比较同次方的系数来求参数. 【相关知识点】1.特征值的性质： 2.相似矩阵的性质：若矩阵相似,则. 十一、(本题满分4分) 【解析】用线性无关的定义证明. 设有常数使得 两边左乘,则有 , 即 . 上式中因,可知,代入上式可得 由题设,所以 将代入,有. 两边左乘,则有 , 即. 同样,由,,可得 由题设,所以 类似地可证明因此向量组是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数使,则称线性相关；否则,称线性无关． 十二、(本题满分5分) 【解析】的通解为 , 其中,, 为任意常数. 理由：可记方程组,的系数矩阵分别记为,由于的每一行都是的解,故.的列是的基础解系,故由基础解系的定义知,的列向量是线性无关的,因此.故基础解系所含向量的个数,得.因此,的行向量线性无关. 对两边取转置,有,则有的列向量,即的行向量是的线性无关的解. 又,故基础解系所含向量的个数应为,恰好等于的行向量个数.故的行向量组是的基础解系,其通解为 , 其中,, 为任意常数. 十三、(本题满分6分) 【分析】把看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道,这样可以简化整题的计算. 【解析】令,由于相互独立,且都服从正态分布,因此也服从正态分布,且 ,. 于是,. 而 , 故 【相关知识点】1.对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布. 若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有 , , 其中为常数. 2.方差的定义：. 3.随机变量函数期望的定义：若,则. 十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：,,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,.其中, . 根据期望和方差的性质, 所以,.把标准化,. 从而, 故查表得到即所以至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布. 若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有 , , 其中为常数. 2.若,则 十五、(本题满分4分) 【解析】设该次考试的考生成绩为,则,设为从总体抽取的样本容量为的样本均值,为样本标准差,则在显著性水平下建立检验假设： 由于未知,故用检验. 选取检验统计量, 在时, 选择拒绝域为,其中满足： ,即 由可算得统计量的值： . 所以接受假设,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.