2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ） 跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 振荡间断点. （2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ） 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. （3）已知，则 （A），都存在 （B）不存在，存在 （C）不存在，不存在 （D），都不存在 （4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A） （B） （C） （D） （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ） . . . . （7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）随机变量，且相关系数，则（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数在内连续，则 . （10）设，则. （11）设，则. （12）微分方程满足条件的解. （13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分） 求极限. (16) （本题满分10分） 设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时. （1）求 （2）记，求. (17) （本题满分11分） 计算其中. (18) （本题满分10分） 设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有； （2）证明是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分） 设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证; （2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分） 设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， 证明（1）线性无关； （2）令，求. （22）（本题满分11分） 设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记 （1）求； （2）求的概率密度． （23） （本题满分11分） 是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求. 2008年考研数学（三）真题解析 一、选择题 (1)【答案】 【详解】 ， 所以是函数的可去间断点． (2)【答案】 【详解】 其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积． (3)【答案】 【详解】 ， 故不存在． 所以存在．故选. (4)【答案】 【详解】用极坐标得 所以 . (5)【答案】 【详解】，. 故均可逆． (6)【答案】 【详解】记，则又， 所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值. 又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确. (7)【答案】 【详解】. (8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得 所以 所以. 排除. 故选择. 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知，所以 因为 ， 又因为在内连续，必在处连续 所以 ，即. (10)【答案】 【详解】，令，得 所以 . (11)【答案】 【详解】. (12)【答案】 【详解】由，两端积分得，所以，又，所以. (13)【答案】3 【详解】的特征值为，所以的特征值为， 所以的特征值为，， 所以. (14)【答案】 【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 . 三、解答题 (15) 【详解】 方法一： 方法二： (16) 【详解】(I) (II) 由上一问可知， 所以 所以 . O 0.5 2 x D1 D3 D2 (17) 【详解】 曲线将区域分成两 个区域和，为了便于计算继续对 区域分割，最后为 (18) 【详解】 方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数， 令，则 所以 (II) 由(1)知，对任意的有，记，则 . 所以，对任意的， 所以是周期为2的周期函数. 方法二：(I) 设，由于，所以为常数，从而有. 而，所以，即. (II) 由(I)知，对任意的有，记，则 ， 由于对任意，， 所以 ，从而 是常数 即有 所以是周期为2的周期函数. (19) 【详解】 方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则 故 设 因为 所以 (万元) 故 (万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程 ， 即 (1) (1)对应的齐次方程 的通解为 设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ， 所以(1)的通解为 由，得 故至少为3980万元． (20) 【详解】(I) 证法一： 证法二：记，下面用数学归纳法证明． 当时，，结论成立． 当时，，结论成立． 假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ， 所以 即 (II) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故． 由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为 所以 (III) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为 为任意常数． (21)【详解】(I) 证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾) ，又 ，整理得： 则线性相关，矛盾. 所以，线性无关. 证法二：设存在数，使得 (1) 用左乘(1)的两边并由得 (2) (1)—(2)得 (3) 因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关. (II) 记，则可逆， 所以 . (22)【详解】 (I) (II) 所以 (23) 【详解】(I) 因为，所以，从而． 因为 所以，是的无偏估计 (II) 方法一：，， 所以 因为，所以， 有， 所以 因为，所以， 又因为，所以,所以 所以 . 方法二：当时 　　　　(注意和独立) 15