1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析.doc

1989年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知则= _____________. (2)设是连续函数,且则=_____________. (3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_____________. (4)向量场在点处的散度=_____________. (5)设矩阵则矩阵=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当时,曲线 (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是 (A) (B) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) (B) (C) (D) (4)设函数而其中 则等于 (A) (B) (C) (D) (5)设是阶矩阵,且的行列式则中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求 (2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算 的值. (3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域. 四、(本题满分6分) 将函数展为的幂级数. 五、(本题满分7分) 设其中为连续函数,求 六、（本题满分7分） 证明方程在区间内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分） 问为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分） 假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明 (1)为的特征值. (2)为的伴随矩阵的特征值. 九、（本题满分9分） 设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件的概率=____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】原式=. (2)【答案】 【解析】由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故 为一常数,为简化计算和防止混淆,令,则有恒等式, 两边0到1积分得 , 即 , 解之得 ,因此. (3)【答案】 【解析】方法一：的方程又可写成,被积分函数在上取值,于是 原积分=(半径为1的的半圆周长). 方法二：写出的参数方程, , 则 . (4)【答案】 【解析】直接用散度公式 . (5)【答案】 【解析】由于 , 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆. 方法一：如果对作初等行变换,则由可以直接得出. 本题中,第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以,有 , 从而知 . 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵 . 如果,这样 . 再利用分块矩阵求逆的法则：, 本题亦可很容易求出. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A) 【解析】函数只有间断点. ,其中是有界函数,而当时,为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 ,故函数没有铅直渐近线. , 所以为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线. (2)【答案】(C) 【解析】题设为求曲面(其中)上点使在该点处的法向量与平面的法向量平行. 在处的法向量 , 若则为常数,即.即. 又点,所以,故求得. 因此应选(C). (3)【答案】(D) 【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,为方程对应齐次方程的特解,所以方程的通解为 , 即,故应选D. (4)【答案】(B) 【解析】是函数先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于是奇函数,于是. 当时,连续,由傅式级数的收敛性定理,.因此, .应选(B). (5)【答案】(C) 【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要. 因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以3阶矩阵为例,若 , 条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C). 三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求,也可以先求. 方法一：先求,由复合函数求导法, , 再对求偏导,得 . 方法二：先求, , 再对求偏导数,得 . 【相关知识点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且 . (2)【解析】方法一：先求出,再求曲线积分. 设有连续偏导数,在所给的单连通区域上,与路径无关,则在上有,所以即.由=0,得 ,即,因此 . 或取特殊路径如图： . 方法二：不必求出,选取特殊的路径,取积分路径如图,则 . (3)【解析】利用三重积分的性质, 关于平面对称,对为奇函数,所以,即. 是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为轴、半顶角为的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则, 所以 . 四、(本题满分6分.) 【解析】直接展开相对比较麻烦,可容易展开, . 由,令得 即 所以 , 当时,式均收敛,而左端在处无定义. 因此 . 五、(本题满分7分.) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, , 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 , 再求导,得 ,即 . 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为, 此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解. 代入方程并比较系数,得,故,所以 , 又因为,所以,即. 六、(本题满分7分.) 【解析】方法一：判定方程等价于判定函数与的交点个数. 令 , 其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故 ,为简化计算,令,即, 则其导数,令解得唯一驻点, 即 , 所以是最大点,最大值为. 又因为,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同),故方程在有且仅有两个不同实根. 方法二： , 因为当时,,所以 , 其它同方法一. 七、(本题满分6分.) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,再第二行乘以加到第三行上, 有 . 由于方程组有解的充要条件是,故仅当,即时,方程组有解.此时秩,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解. 由同解方程组 令解得原方程组的通解 (其中为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组) 设是矩阵,线性方程组,则 （1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线表出. 八、(本题满分8分.) 【解析】(1)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得 .因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征 值. (2)由于逆矩阵的定义,据第(1)问有 ,按特征值定义,即 为伴随矩阵的特征值. 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量. 九、(本题满分9分.) 【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是, 于是的方程是. 先求与球面的交线： . 代入上式得的方程 . 它在平面上的投影曲线 相应的在平面上围成区域设为,则球面在定球面内部的那部分面积 . 将的方程两边分别对求偏导得 , 所以 . 利用极坐标变换有 代入,化简得. 这是一个关于的函数,求在的最大值点,两边对求导,并令 ,得,得. 且 , 故时取极大值,也是最大值. 因此,当时球面在定球面内部的那部分面积最大. 十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：. 方法二：. (2)【解析】设事件=“甲射中”,=“乙射中”,依题意,,, 与相互独立,. 因此,有 . . (3)【解析】设事件=“方程有实根”,而方程有实根的充要条件是其判别式,即. 随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为 由分布函数的定义, 而 所以由概率的可加性,有. 【相关知识点】广义加法公式：. 条件概率：,所以. 十一、(本题满分6分.) 【解析】,,由独立的正态变量与的线性组合仍服从正态分布,且 , 得 . 代入正态分布的概率密度公式,有的概率密度函数为 . 【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布. 若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有 , , 其中为常数.