2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析.doc

2001年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2),则= _____________. (3)交换二次积分的积分次序:＝_____________. (4)设,则= _____________. (5),则根据车贝晓夫不等式有估计 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则的图形为 (A) (B) (C) (D) (2)设在点的附近有定义,且则 (A) (B)曲面在处的法向量为 (C)曲线 在处的切向量为 (D)曲线 在处的切向量为 (3)设则在=0处可导 (A)存在 (B) 存在 (C)存在 (D)存在 (4)设,则与 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数, 则和相关系数为 (A) -1 (B)0 (C) (D)1 三、(本题满分6分) 求. 四、(本题满分6分) 设函数在点可微,且,,求. 五、(本题满分8分) 设 ,将展开成的幂级数,并求的和. 六、(本题满分7分) 计算,其中是平面 与柱面的交线,从轴正向看去为逆时针方向. 七、(本题满分7分) 设在内具有二阶连续导数且.证明: (1)对于,存在惟一的,使 =+成立. (2). 八、(本题满分8分) 设有一高度为为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分6分) 设为线性方程组的一个基础解系, , 其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系? 十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足. (1)记求使. (2)计算行列式. 十一、(本题满分7分) 某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求: (1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率. (2)二维随机变量的概率分布. 十二、(本题满分7分) 设抽取简单随机样本 样本均值,,求 2001年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,从而得知特征方程为 . 由此,所求微分方程为. (2)【分析】 先求gradr. gradr=. 再求 divgradr= =. 于是 divgradr|=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为时 .由此看出二次积分是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 . 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域: . 见图.现可交换积分次序 原式=. (4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为 , 故 ,即 . 按定义知 . (5)【分析】 根据切比雪夫不等式 , 于是 . 二、选择题 (1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对; 当时,:增——减——增:正——负——正,(B)不对,(D)对. 应选(D). (2)【分析】 我们逐一分析. 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数,不保证曲面在 存在切平面.若存在时,法向量n={3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立. 关于(C),该曲线的参数方程为 它在点处的切向量为 . 因此,(C)成立. (3)【分析】 当时,. 关于(A):, 由此可知 . 若在可导(A)成立,反之若(A)成立 .如满足(A),但不. 关于(D):若在可导, . (D)成立.反之(D)成立在连续,在可导.如 满足(D),但在处不连续,因而也不. 再看(C): (当它们都时). 注意,易求得.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即 ).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不. 因此,只能选(B). (4)【分析】 由 ,知矩阵的特征值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似. 作为实对称矩阵,当时,知与有相同的特征值,从而二次型与有相同的正负惯性指数,因此与合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如 与, 它们的特征值不同,故与不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以与合同. (5)【分析】 解本题的关键是明确和的关系:,即,在此基础上利用性质:相关系数的绝对值等于1的充要条件是随机变量与之间存在线性关系,即(其中是常数),且当时,;当时,,由此便知,应选(A). 事实上,,,由此由相关系数的定义式有 . 三、【解】 原式= = =. 四、【解】 先求. 求 ,归结为求.由复合函数求导法 , . 注意 ,. 因此 ,. 五、【分析与求解】 关键是将展成幂级数,然后约去因子,再乘上并化简即可. 直接将展开办不到,但易展开,即 , ① 积分得 ,. ② 因为右端积分在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立. 现将②式两边同乘以得 = = , , 上式右端当时取值为1,于是 . 上式中令. 六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记为平面上所 为围部分.由的定向,按右手法则取上侧,的单位法向量 . 于是由斯托克斯公式得 = =. 于是 . 按第一类曲面积分化为二重积分得 , 其中围在平面上的投影区域(图）.由关于轴的对称性及被积函数的奇偶性得 . 七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,,,使 (与有关);又由连续而,在不变号,在严格单调,唯一. (2)对使用的定义.由题(1)中的式子先解出,则有 . 再改写成 . , 解出,令取极限得 . 八、【解】 (1)设时刻雪堆的体积为,侧面积为.时刻雪堆形状如图所示 先求与. 侧面方程是. . . 作极坐标变换:,则 . 用先二后一的积分顺序求三重积分 , 其中,即. . (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 将与的表达式代入得 ,即 . ① . ② (3)解①得. 由②得,即. 令,得.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】 由于是线性组合,又是的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为的解. 从是的基础解系,知. 下面来分析线性无关的条件.设,即 . 由于 线性无关,因此有 (*) 因为系数行列式 , 所以当时,方程组(*)只有零解. 从而线性无关. 十、【解】 (1)由于 ,即 , 所以. (2)由(1)知,那么,从而 . 十一、【解】 (1). (2)= = 十二、【解】 易见随机变量,,相互独立都服从正态分布.因此可以将它们看作是取自总体的一个容量为的简单随机样本.其样本均值为 , 样本方差为 . 因样本方差是总体方差的无偏估计,故,即.