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目录序言数学与兴趣新版序龟兔四跑旧版序绪论数量关系备考方案上篇 数学运算第一章 代入与排除法第一节 直接代入法第二节 倍数特性法第三节 综合特性法本章习题训练第二章 转化与化归法第一节 化归为一法第二节 比例假设法第三节 工程问题本章习题训练第三章 典型解题技巧第一节 十字交叉法第二节 构造设定法第三节 极端思维法第四节 枚举归纳法第五节 逆向分析法第六节 调和平均数本章习题训练第四章 方程与不等式第一节 基本方程思想第二节 不定方程（组）第三节 不等式第四节 盈亏与鸡兔同笼问题第五节 和差倍比问题本章习题训练第五章 基础运算模块第一节 纯粹计算问题第二节 运算拓展题型第三节 数列综合运算本章习题训练第六章 计数问题模块第一节 容斥原理第二节 基础排列组合第三节 拓展排列组合第四节 概率问题第五节 抽屉原理本章习题训练第七章 比例计算模块第一节 溶液问题第二节 牛吃草问题第三节 钟表问题本章习题训练第八章 初等数学模块第一节 约数倍数问题第二节 多位数字问题第三节 余数同余问题第四节 平均数值问题第五节 星期日期问题第六节 循环周期问题本章习题训练第九章 行程问题模块第一节 基础行程问题第二节 相对速度问题第三节 典型行程模型本章习题训练第十章 几何问题模块第一节 几何公式法第二节 割补平移法第三节 几何特性法第四节 中学几何问题第五节 几何边端问题本章习题训练第十一章 趣味杂题模块第一节 比赛问题第二节 年龄问题第三节 统筹问题第四节 趣味推断问题第五节 经济利润问题本章习题训练第十二章 精选真题模拟训练精选真题模拟训练一精选真题模拟训练二精选真题模拟训练三精选真题模拟训练四精选真题模拟训练五精选真题模拟训练六精选真题模拟训练七精选真题模拟训练八精选真题模拟训练九精选真题模拟训练十精选真题模拟训练答案速览下篇 数字推理第一章 基础知识与基本思维第一节 基础数列第二节 因数分解第三节 题型概览第二章 多级数列第一节 二级数列第二节 三级数列第三节 商和多级数列第三章 多重数列第一节 交叉数列第二节 分组数列第三节 机械分组第四章 分数数列第一节 基础技巧数列第二节 反约分型数列第三节 分数拓展数列第五章 幂次数列第一节 基础幂次数列第二节 幂次修正数列第六章 递推数列第一节 递推基本形态第二节 整体趋势法第三节 递推联系法第七章 图形数列第一节 圆圈题第二节 九宫格第三节 题型拓展第八章 精选真题模拟训练精选真题模拟训练一精选真题模拟训练二精选真题模拟训练三精选真题模拟训练四精选真题模拟训练五精选真题模拟训练六精选真题模拟训练七精选真题模拟训练八精选真题模拟训练九精选真题模拟训练十参考答案及简析序言数学与兴趣新版序学生经常跟我说：“李老师，我知道数学很重要，但我对数学一点兴趣也没有，所以从小到大数学一直很差，从来就没有听懂过数学课，高考数学成绩更是惨不忍睹。请问如何能够培养我对数学的兴趣，让我学好数学呢？”跟大家说说我的例子吧，单从兴趣来讲，其实我最喜欢的科目是地理和历史。从小学到中学这12年，只要一放寒暑假，我就会把下学期所有科目的书全部看一遍，唯独数学书是从来没翻过的。然而无奈的是，自己总在数学上展示出身边人所不具备的所谓“特殊才华”，于是在旁人的“怂恿”和“撺掇”下，走上了数学这条“不归之路”，然后发现自己也渐渐把数学当成了最大的兴趣。所以我想说的是，其实很多人，并不一定是因为对数学不感兴趣，所以才没有把数学学好。他们往往是没有找到学习数学的正确方法，导致数学学得很糟糕，从而丧失了对数学的兴趣。上面这个道理其实很简单，但问题的症结就在于，“不擅长”与“没兴趣”是一个死循环。只有强行扭转，让自己先行产生兴趣，然后在数学学习上有所突破，才有可能达到良性循环。于是，好多学生又要抱怨了：“老师，你说的这些我都懂，可我就是没有数学那根筋，根本学不好数学，所以才没有兴趣的嘛！”别着急，再来听听我的故事。你们很难想象，中学时代的我，是一个羞于表达、一站在台上讲话就会脸红的男孩，只要底下有人笑，我就会一直笑场无法继续。而今天，就算台下坐着几万人，我仍然可以挥洒自如，谈笑风生，出口成章。是大学时候的我，找到了锻炼的机会，挖掘出自己之前根本无法想象的演讲潜能。事实上，很多人内在的天赋，甚至是连自己都不知道的。在华图，我亲手培训了一批批行业内优秀的数学老师，但他们当中有很多人，“首面”表现得非常糟糕，有的人做题正确率太低，还有人连自我介绍都说不利索。然而，我看到了他们潜在的逻辑思维能力，充分挖掘他们的天赋和才华。而今天，他们当中很多人成为了公司骨干、行业名师。还有很多人转行去了其他行业，由于在华图的锻炼和积攒的自信，同样成为了所在行业的佼佼者。说了这么多闲话，中心思想就是想告诉很多对数学没有自信的考生，不要妄自菲薄，不可轻言放弃。人的潜能是无限的，只要你懂得把握正确的方向、学习最强的方法、保持十分的勤奋，你会发现自己的数学远比想象当中的厉害。而一旦你买了这本书，你就已经把握了公考之路最正确的方向，获得了攻克数量关系最强的方法，剩下的就只需要你自己的勤奋和努力了。最后，我要感谢三位培训师对我修订工作的支持，其中刘有珍、贾文博两位老师做了很多基础性的工作，陶昶安老师在“表格法解牛吃草问题”和“比例法解方程”上给了我很好的建议。诚挚邀请大家来我的“微信公众号”上搜寻各种学习资源（二维码见下图），大家还可以在我的新浪微博“李委明”上与我互动提问。微信公众账号：liweiming1982公考路上，我伴大家一路前行；人生路上，大家与我互勉共进！李委明2015年4月16日于北京扫描下侧二维码，全书视频任性看本书视频1.名家讲义图书答疑QQ：3631039932.特别提醒：本书所选真题，均来源于网络或根据考生回忆整理。龟兔四跑旧版序大家都听过龟兔赛跑的故事，在开始复习备考之前，再次跟大家分享这个古老的故事：敏捷的兔子和缓慢的乌龟进行赛跑，但是兔子因为在路上偷懒睡着了，所以乌龟得了第一名。比赛结束后，兔子不服气，强烈要求再赛一次。于是，有了第二次赛跑。第二次比赛中，兔子没有睡觉，一下子跑到终点，然而兔子还是输了。为什么呢？因为兔子没有听清楚规定的比赛要求，结果跑错了方向，当然还是输了。知道结果后，兔子感觉很委屈，更加不服气了，倔强地要求再加赛一场，乌龟又同意了。于是，又有了第三次龟兔赛跑。第三次比赛中，兔子没有偷懒睡觉，也没有跑错方向，不过，兔子最后还是输了。这又是为什么呢？原因在于这次的路线，中间有一条河，兔子因为不会游泳而停下了。乌龟则慢慢悠悠地赶来，游了过去，取得了比赛的最后胜利。七年前，钟君老师用这样一个有趣的故事告诉大家：乌龟之所以在三次比赛中取得胜利，一是因为具有不偷懒的勤奋精神，二是因为掌控了正确的方向，三是因为具有游泳的技巧。同样的道理，我们要想在某次考试中取得成功，不仅需要勤奋备考，更要把握考试的正确备考方向，还要熟练掌握相应的应试技巧。读完上面的故事，相信很多考生都会有一些感触，或许我们当中就有很多人有着与兔子相同或相似的失败经历，我们因为缺乏用功、不明方向或不懂技巧而在考场上败走麦城、名落孙山。然而在我眼里，我们看到的不应该仅仅是一只“懒惰”和“蛮干”的兔子，更是一只知错就改、屡败屡战、永不言输的兔子。这只倔强的兔子在此之后便苦练游泳，再次向乌龟发起了挑战，终于在第四次龟兔赛跑中取得了最后的胜利。赢得胜利的兔子已经不再是当年争强好胜又高傲自大的兔子了，他成熟中多了些许谦逊，稳重下又有几分淡定，兔子赢得的不是一场简单的胜利，更是对人生和奋斗更高的领悟。在我们的人生经历当中，没有人可以一帆风顺，谁都会遇到挫折。有很多人在面临挑战时妥协退缩了，也有很多人在平淡的生活中失去了斗志，但更有人在命运面前昂起了头颅，以坚韧不拔的精神追求更高的自我成就，因而成功也只会属于这些真正渴望成功的人。除此之外，我们当中还有很多像“兔子”一般有天赋的人，他们是天生的“赛跑专家”，但因为各种原因输掉了若干场比赛，从此也输掉了勇气，输掉了自信。他们因为人生的挫折而怀疑自己的能力，在失败面前让本具才华的自己选择了碌碌无为的一生。我们真的应该向这只伟大的兔子好好学习，是他的屡败屡战证明了自己当之无愧的实力。而站在成功大门前的我们，缺乏的绝对不是能力和天赋，而是展示自己能力和天赋的决心和勇气。在公考中，复习备考本身固然重要，但更重要的是先要有一个坚定的目标和不动摇的信念，在这个信念下我们才能激起万分的斗志，不至于买了一套书却只翻了每本书的前几十页，买了网络课程到了考试都还没看完，或者报班学习回来两个月都没重新复习讲义。要知道，方法固然重要，精神更是前提！试想，如果兔子没有追求胜利的信念，没有渴望成功的意志，他是绝对不会有战胜乌龟、战胜自我的那一刻的。上面这些，既是这么多年来很多考生朋友的公考经历给我的感触，也是自己对人生和追求的一点小小的领悟，下面送上一段话，与大家共勉：如果你有梦想，千万不要停止自己追逐的步伐。但是，梦想不是响彻云霄的宣言，而是意志坚定的信念。不要为自己找太多的借口，世界对每个人都是公平的，如果你总是感叹命运的偏心而丧失了斗志，那你注定平庸；如果你天天抱怨挤不出时间，你只要回头细心算算，过去的一年里，你到底有多少时间原本是可以被节省下来的。让每天早上叫醒自己的，不是闹钟，而是梦想吧，其实成功远比你想象的来得容易，只需要在你能力范围之内，做到所有你应该做到的事情。加油吧，朋友们，路就在自己脚下。祝大家公考题名，心想事成！李委明2013年1月21日于斯坦福绪论数量关系备考方案名师视频结合教学经验和学生反馈，我对本版宝典进行了再一次大规模的调整和优化。在这个新的版本里，你会发现知识体系更加科学，层次重点更加分明，阅读学习更加轻松。请大家花10分钟时间，好好阅读以下备考方案，我将告诉你这本书你应该怎么看，数量关系，你应该怎么学。数字推理首先要提到的是数字推理，这是大家都非常关心的内容。国考、联考和大部分地方考试已经多年没有涉及，所以对于大部分考生来说，可以完全忽略这部分，只复习本书前半部分数学运算的内容即可。但是，数字推理仍会出现在部分省级考试中，譬如浙江和江苏每年都有比重不小的数字推理试题，所以这两个地区的考生一定要认真地复习。除此之外，陕西、天津、河北、新疆、吉林、广东、广州、深圳等省市的考试，也有很大的概率考查数字推理，所以这些地区的考生也不能轻视数字推理的复习。数学运算很多考生反馈说数学运算题型太多，复习起来没有重点和层次感，所以本版宝典专门把重点的章节用标记出来。这是本版宝典的第一个创新点。数学运算共47节，我从中精心挑选出来20节重点内容，涵盖了考试四分之三的考点，可以帮助大家在最短的时间内把握最核心的内容。当然我要强调的是，没有标记的章节，并不是不重要，而是最近五年考查频度比较低。所以对于复习时间有限的考生，专门看重点章节就可以了，但对于想全盘复习的考生，则应该先看重点章节，再复习非重点章节。自主复习对于习惯自主复习的考生，或者是基础非常好的考生，抑或是复习时间只有几天的考生，我还给大家一个很好的复习建议：以考题带动考点进行复习。你可以直接去砖题库做真题，然后核对答案，找到自己的缺漏部分，然后用本书相对应的章节，进行针对性的复习。这样的复习方式对于以上提到的三类考生而言，效率是最高的。当然需要提醒的是，也许一道题目你会做，但不代表你的方法是最好的，对于一些自己做题虽然做对，但耗时较长的情况，同样应该好好看看本书中列举的相应解题技巧，从而优化自己的答题效率。真题题库公务员考试的各部分内容当中，数量关系和资料分析是各地差异最小的，不论是国考、联考还是各省市的考试，数量关系和资料分析有99%以上的考点是一致的。这就意味着大家在复习的时候，不仅仅要关注自己考试地区的历年真题，还要关注其他地区考试的最新真题，甚至有时候后者更加重要，因为出题人互相借鉴出题的思路的概率是非常高的。联考范围现在大部分省份都加入了联考，以去年为例，除了自主命题的省市，几乎所有省市都加入了上半年春季联考，但即使是自主命题的省市，也有不少与春季联考选择了相同或相近的考试日期。但是大家需要关注的是，联考也是不断变化的，每年联考的省市都不一样，春季、秋季的分配也不相同，某一个省市今年参加联考，明年可能就自主命题，或者部分自主命题。还有一些省市，虽然也参加了春季联考，但秋季还会进行第二次考试。二八原则行测考试题目多、时间短，考试设置本来就没有希望大家答完所有试题。特别是数量关系部分，各题难度不一，既有特别简单的基础题，也有难题、怪题。考生答题时主动放弃这个模块中最难的部分（而不是被动的因为时间不够放弃某一大片题目），然后利用有限的时间把正常难度的题目做完，这是行测获得高分的关键。所谓“二八原则”，就是说如果你能做完八成的题目，并且保证八成的正确率，就能取得不错的成绩。所以大家复习的时候，要把最大的精力放在八成正常难度题目上面，最难的内容如果复习起来有困难，是绝对可以策略性放弃的。学习顺序鉴于本书层次分明、体系清晰，大家一定要有一个完整的学习顺序。首先，在正式使用本书进行复习之前，建议先做12套真题，梳理自己的知识体系。在阅读正文时，应遵循三个原则：先做例题，再做习题；先看重点章节，再看非重点章节；先学习前面的章节，再完成后面的“精选真题模拟训练”。后面的数套题目非常有价值，大家一定要好好利用。当然，具体的学习进度一定要根据自己的情况来调整。如果时间并不多，那你可以只看完重点章节的例题就可以了。如果做完整个宝典还有余力，建议去砖题库（）好好练习更多的真题。所有这些，都需要大家根据自身情况来合理把握。微信账号下侧二维码是我的微信公众账号，里面还有非常多的自主学习资源，我还会定期给大家推送最及时、最有用的考试技巧和考试信息。另外，你给此微信号发送“勘误”两个字，就可以收到本书的所有错误订正信息。习题答案由于篇幅所限，本书中数学运算部分的“精选真题模拟训练”的解析，将统一放在华图图书网（）的增值服务专区中，考生可登录网站下载电子书进行学习。好的，准备工作已经完毕，让我们起帆远行，着手复习吧！上篇数学运算第一章代入与排除法第一节直接代入法一、题型评述数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。二、破题密钥“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其他方法进行结合使用。三、例题精析【例1】（吉林2014甲55）某建筑工地招聘力工和瓦工共计75名，力工日工资100元，瓦工日工资200元，要求瓦工人数不能少于力工人数的2倍，则力工和瓦工各聘多少人才能使日付工资最少？（）A.2055B.2253C.2451D.2550解析想要日付工资最少，那么瓦工显然越少越好，但又不能低于力工的2倍，那么恰好2倍就是最好的安排，显然D项满足所有条件。【例2】（广东201442）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（）元。A.42B.63C.85D.96解析直接代入选项，A选项：42-24=18（元），不符合题意，就选这一个。【例3】（北京201571）四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少岁？（）A.30B.29C.28D.27解析将四个选项分别代入，则年龄乘积分别为：30292827、29282726、28272625、27262524。很明显，第一、二项尾数不是00，不是2700的倍数，而第四项显然是81的倍数，都可以排除，选择第三项。【例4】（浙江201359）两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？（）A.30分钟B.35分钟C.40分钟D.45分钟解析假设两根蜡烛原来长都为1，那么熄灭的时候粗蜡烛的长度肯定低于1，此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍，故而细蜡烛的长度低于，燃烧的长度高于，那么燃烧时间也高于小时，结合选项，选择“45分钟”。【例5】（上海2014B68）某慈善机构募捐，按捐款数额排名前五位的依次是甲、乙、丙、丁、戊，五人共捐款10万元，且数额都不相同。如果甲的捐款刚好是乙、丙之和，乙的捐款刚好是丁、戊之和，那么丙的捐款最多为（）元。（捐款金额均是1000元的整数倍）A.17000B.18000C.19000D.20000解析设乙的捐款数为x千元，丙的捐款为y千元，xy，则可以得到x+y+x+y+x=100，即3x+2y=100，代入选项只有第一项符合要求。【例6】（国考201575）某学校组织学生春游，往返目的地时租用可乘坐10名乘客的面包车，每辆面包车往返的租金为250元。此外，每名学生的景点门票和午餐费用为40元，如要求尽可能少租车，则以下哪个图形最能反映平均每名学生的春游费用支出与参加人数之间的关系？（）解析当人数从10人增加到11人的时候，学校需要额外再租一辆面包车，平均成本会陡然增加，只有第二个图满足这一条件。【例7】（天津201411）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？（）A.4520B.3842C.3121D.2101解析根据第一个条件，吃掉1个剩下的平均分成5份，我们可知答案应该减1可以被5整除，排除A、B两项。再根据题目的问法最少有多少个，所以我们从最小的D项开始代入：2101-1=2100，被5除后得到420，用2100-420=1680，1680-1=1679不能再被5整除，排除D项。【例8】（江苏2013B91）三位数A除以51，商是a（a是正整数），余数是商的一半，则A的最大值是（）。A.927B.928C.929D.990解析直接代入四个选项，92751=189，92851=1810，92951=1811，990 51=1921，只有第一项满足条件。点睛本题还可以使用其他方法，但直接代入是最直接的方法，不需要经过复杂的思考过程。另外，B、C选项代入时，不需要重新计算，直接在A选项的基础上，余数分别加1和2即可。【例9】（河北201344）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的2倍。问三个假山的体积之比是（）。A.1:3:5B.1:4:9C.3:6:7D.6:7:8解析很显然，三次溢水之比为1:3:6，不妨假设三次溢水量分别为1、3、6。第一次，说明小假山的体积为1；第二次，说明中假山的体积为1+3=4，因为中假山的体积相当于前两次的溢水之和。根据已得数据，再结合选项，直接选择第二项。点睛代入排除法，不仅仅意味着把选项代入题干，还告诉我们在计算的过程中，应该一边计算一边比对答案选项，很可能算到一半，就可以得到正确答案了。微博答疑实录1注：本书中的“微博答疑实录”摘自李委明老师微博中具有典型代表性的提问及回复，以供广大考生借鉴学习。第二节倍数特性法一、题型评述“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。二、破题密钥2、4、8整除及余数判定基本法则1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。3、9整除及余数判定基本法则1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。7整除判定基本法则1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。【示例】362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除 362不能被7整除【示例】12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除 12047能被7整除11整除判定基本法则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差值为11的倍数。【示例】7394奇数位之和“7+9=16”与偶数位之和“3+4=7”的差值“16-7=9”不是11的倍数 7394不能被11整除三、例题精析 题型一：直接倍数【例1】（山西、四川201458）将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。在9个班中，其中1个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？（）A.40B.50C.60D.80解析设每人分到了x本书，其余8个班每班的学生人数为y，则：（32+8y）x=20000，化简可得：（4+y）x=2500，很显然，2500是x的倍数，四个选项中只有50满足条件。【例2】（广东201444）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为（）。A.446B.488C.508D.576解析分析可知，总数减去8人，是12的倍数，代入发现，只有488满足条件。【例3】（国考201373）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？（）A.48B.60C.72D.96解析分析题干可知，甲派出所受理的案件一定是100的倍数，即甲为100件，乙为60件，所以乙派出所受理的非刑事案件数为6080%=48（件）。微博答疑实录2【例4】（广东201437）一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（）名。A.36B.40C.48D.72解析如果离开4名女员工，剩下的女员工占，说明员工总数如果减去4，必须是9的倍数，只能选择第二项。【例5】（广州201328）某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，因技术改进，实际每天生产120个。结果提前4天完成任务，还多生产了80个。则工厂原计划生产零件（）个。A.2520B.2600C.2800D.2880解析原计划生产的零件数目，加上80，一定是120的倍数。选择第三项。点睛实际做题的时候，不需要判断是否是120的倍数，只需要判断是否是3的倍数即可。【例6】（上海2011A、B59）某超市用2500元购进一批鸡蛋，销售过程中损耗鸡蛋10千克。已知超市每千克鸡蛋的售价比进价高1元，全部售完后共赚440元，则共购进这批鸡蛋（）千克。A.460B.500C.590D.610解析假设购进了鸡蛋n千克，则：，很明显，2500应该是答案n的倍数，只能选择500。微博答疑实录3【例7】（深圳201351）一块合金净重200克，用线吊住全部浸没在水里称重为180克。已知合金包含甲、乙两种金属，由于浮力的作用，甲金属在水里减轻的重量，乙金属在水里减轻的重量。则此块合金中包含的甲、乙金属的重量相差（）克。A.10B.20C.30D.40解析合金共重200克，如果甲、乙相差10、20、30、40克，那么其分配应该分别为（105，95）、（110，90）、（115，85）、（120，80），这8个数字只有110是11的倍数，所以甲金属重110克，乙金属重90克，相差20克。点睛如果知道两个数的和为a，差为b，那么这两个数分别为，这是一个很重要的结论，一定要牢牢记住。题型二：因子倍数【例8】（国考201364）某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为（）。A.5:4:3B.4:3:2C.4:2:1D.3:2:1解析根据第一个条件：3乙+6丙=4甲，则甲中必然有因子3，只有第四项符合。微博答疑实录4【例9】（天津201410）王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字？（）A.6025B.7200C.7250D.5250点睛如果你理解不了解析当中的文字描述，可以把式子列出来理解：总量抄完剩余部分所用时间，由此可以判断总量当中肯定有7因子。【例10】（陕西201381）学校组织学生举行献爱心捐款活动，某年级共有3个班，甲班捐款数是另外两个班捐款总数的，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300元，则这三个班一共捐款（）元。A.6000B.6600C.7000D.7700解析假设丙班捐款为x，那么乙班为1.2x，两个班总和为2.2x，故而甲班捐款为0.42.2x，所以三个班加起来应该是1.42.2x，这个数字既有7因子，又有11因子，选择D。【例11】（北京201475）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？（）A.400B.420C.440D.460解析假设甲工厂每天生产的零件数目为x，那么乙工厂每天生产的零件数目为0.5x+20，故而两个工厂每天共能生产1.5x+20，说明这个总数减去20之后有因子3。选择第三项。微博答疑实录5 题型三：比例倍数核心提示在整数运算中，若a:b=m:n（m，n互质），则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。【例12】（秋季联考201438）有一堆围棋子。白子颗数是黑子的3倍。每次拿出5颗白子、3颗黑子，经过若干次后，剩下的白子是黑子的9倍。问原来白子最少有几颗？（）A.33B.66C.22D.27解析设原来黑子数量为x，则白子为3x，经过n次，则可以得到3x-5n=9（x-3n），化简得到6x=22n，得x:n=11:3，所以x是11的倍数，最小为11，所以白子最少有33颗。【例13】（北京201584）甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5:6，乙班为5:4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和（）。A.多1人B.多2人C.少1人D.少2人解析甲班：男女生人数比为5:6，所以甲班人数为11的倍数；乙班：男女生人数比为5:4，所以乙班人数为9的倍数。两个班都是40多名学生，所以甲班44人，乙班45人。进而得到甲班男生20人，女生24人；乙班男生25人，女生20人。两个班男生总数45人，女生总数44人，男生多1人。【例14】（上海2014A、B67）一艘海军的训练船上共有60人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船员、还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总数的四分之一，船员（含见习船员）总人数是驾驶员（含见习驾驶员）总数的7倍，则船上有（）个陆战队员。A.12B.15C.20D.25解析根据第一个占比条件：见习人员：驾驶员和船员=1:4，说明除了陆战队员，剩下的总数是5的倍数。根据第二个占比条件：船员：驾驶员=7:1，说明除了陆战队员，剩下的总数是8的倍数。综上可知，不算陆战队员，剩下总数应该是40的倍数，而总人数为60，易知陆战队员只能是20人。【例15】（新疆兵团201358）某单位对员工进行年度考评，业务考评优秀的人数占总人数的五分之二，比当年全勤的人数多4人，比业务考评中非优秀同时又有缺勤情况的人数多1人。在业务考评优秀的人中，当年全勤人数是有缺勤情况人数的五分之三，问该单位全勤的有多少人？（）A.32B.36C.40D.48解析根据“在业务考评优秀的人中，当年全勤人数是有缺勤情况人数的五分之三”可知，业务考评优秀的人的人数一定是8的倍数，而全勤的人数比业务考评优秀的人数少4人，说明答案加上4之后，应该是8的倍数，只有36满足条件。微博答疑实录6【例16】（四川201352）某单位引进4名技术型人才之后，非技术型人才在职工中的比重从50%下降至43.75%，问该单位在引进人才之前有多少名职工？（）A.28B.32C.36D.44解析，非技术：新职工数=7:16，说明非技术型人才是7的倍数，原来的比重是50%，则原职工数是非技术人才的2倍，那么原职工数一定也是7的倍数，只有28满足条件。第三节综合特性法一、题型评述上一节，我们讲述了如何利用“倍数关系”这种数字特性来锁定最终答案。本节我们将讲述除此之外的其他类型的数字特性关系，这些特性包括大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、幂次特性、质数特性等等。二、破题密钥绕过烦琐的计算过程，直接锁定答案数字要求的具体数字特性。三、例题精析 题型一：大小特性【例1】（广东201313）某村村民经过集体投票民主选举村干部，5位村干部候选人中得票最高者将当选。经统计，本次选举有效选票一共395票，且当选者的得票数比其他4位候选人的平均得票数要多60票，则这名当选者一共获得（）票。A.62B.67C.122D.127解析首先，当选者肯定超过了平均票数，排除A、B选项。如果当选者获得122票，那么其他4位候选人的得票数为273，显然不是4的倍数，排除C选项。【例2】（国考201278）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86（分），前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（）A.602B.623C.627D.631解析前7名工人得分应该是等差数列，所以其和应该是第4名（中位数）的7倍，C、D选项不是7的倍数，排除。如果前7名总和是602，那么第4名得分为6027=86（分），很明显，第4名的得分应该高于全部9人的平均得分，所以A选项不正确。题型二：奇偶特性核心提示1.两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2.两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；3.两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。【例3】（北京201173）有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，则这个整数为（）。A.44B.43C.42D.41解析如果该整数是偶数的话，三个余数应该分别是奇数、偶数、偶数，和不可能得到100，因此该整数一定是奇数，排除A、C项。将B项代入，不满足条件。【例4】如下图所示，在国际象棋中，马每次移动的方式类似于中国象棋里马的“日”字走法，即：下图中心的马可以走到的地方为图中标“”的八个位置。请问这个“马”能否在7步之后回到原来的位置？能否13步之后回到原来的位置？（）A.7步可以回到；13步可以回到B.7步可以回到；13步不能回到C.7步不能回到；13步可以回到D.7步不能回到；13步不能回到解析“马”每走一步都是从图中的黑格走到白格，或者从白格走到黑格。如果“马”从黑格出发，7步之后或者13步之后一定是到了白格，所以肯定不能回到原来的位置。点睛本题运用的方法本质上来说，就是数字的“奇偶特性”。题型三：尾数特性【例5】（江西2012107）某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？（）A.244B.242C.220D.224解析设有n辆车，则总人数=20n+2，总人数的尾数为2，结合选项，选择第二项。【例6】（上海2014A74）为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐之后还多了12筐，如果再买进8筐则每个部门可分得10筐，则这批水果共有（）筐。A.192B.198C.200D.212解析由“再买进8筐则每个部门可分得10筐”知，筐数的尾数应该是2，排除B、C两项。代入A项，则得到部门数为（192+8）10=20，19220=912，满足题干，正确。【例7】（安徽201256）计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为（）。A.4555940.8B.4555940.9C.4555941.18D.4555940.29解析我们忽略小数点，计算11012+121032+122042+126082的最后两位，这时候只需要考虑原有数字的最后两位，即：012+032+042+082=90，所以结果的最后两位必须是“90”，加上小数点，再结合选项选择答案。点睛正整数的加、减、乘运算中，每个数字的最后N位，经过同样的计算，可以得到结果的最后N位。题型四：余数特性【例8】（春季联考201445）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？（）A.16B.20C.24D.28解析由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”可知，假如有2n名积极分子，则一定有（5n+2）名党员，两者相差3n+2，除以3余2，只有20满足。【例9】（安徽201013）某店一共进货6桶油，分别为15、16、18、19、20、31千克，上午卖出2桶，下午卖出3桶，下午卖的重量正好是上午的2倍。那么，剩下的一桶油重多少千克？（）A.15B.16C.18D.20解析假设上午卖了1份，那么下午卖了2份，总共卖了3份，是3的倍数。总重量（15+16+18+19+20+31）3余数为2，那么剩下的重量除以3也余2，只有第四项满足条件。题型五：幂次特性【例10】（安徽20108）一个正方形队列，如减少一行和一列会减少19人，原队列有多少个人？（）A.81B.100C.121D.144解析原队列减少19人之后，还应该是一个平方数，只有100满足。【例11】（河北201448）宏远公司组织员工到外地集训，先乘汽车，每个人都有座位，需要每辆有60个座位的汽车4辆，而后乘船，需要定员为100人的船3条，到达培训基地后分组学习，分的组数与每组的人数恰好相等。这个单位外出集训的有多少人？（）A.240人B.225人C.201人D.196人解析由“分的组数与每组的人数恰好相等”知，总人数一定是一个平方数，排除240、201。根据“需要3条船”可知，196肯定也不对。题型六：质数特性【例12】（江苏2012C32）下列可以分解为三个不同质数相乘的三位数是（）。A.100B.102C.104D.125解析直接代入验证即可，100和104都是4的倍数，分解质因数会出现两个2，排除，而125里有多个5因子，也排除。最后，102=2317。【例13】（吉林2011A-8）一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是（）。A.9B.8C.7D.6解析设这两个质数分别为x、y，则有3x+2y=20。由于20和2y为偶数，则3x必然为偶数。因此x既是质数，又是偶数，故x=2，则y=7，x+y=2+7=9。【例14】（浙江201347）已知3个质数的倒数和为，则这3个质数的和为（）。A.80B.82C.84D.86解一我们假设这三个质数分别为x、y、z，那么：由上式我们可知分母1022应该是x、y、z因为通分而相乘所得，我们作因数分解：